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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Interlude: symplectic linear algebra
Before we proceed with the contact geometric interpretation of various phenomena in geometry and physics, we pause to recall some simple symplectic linear algebra. For a complete treatment of these issues the reader should refer to the textbooks by Cannas da Silva [40] or McDuff-Salamon [177]; here I restrict myself to those aspects that will be immediately relevant throughout this book.
Let $V$ be a finite-dimensional real vector space and $\omega$ a symplectic linear form on $V$, that is, a skew-symmetric bilinear form with the property that the homomorphism
$$
\begin{array}{cccc}
\phi_\omega: \quad V & \longrightarrow V^* \
\mathbf{v} & \longmapsto \omega(\mathbf{v},-)
\end{array}
$$
is an isomorphism. The pair $(V, \omega)$ is called a symplectic vector space. For a subspace $U \subset V$, define
$$
U^{\perp}:={\mathbf{v} \in V: \omega(\mathbf{u}, \mathbf{v})=0 \text { for all } \mathbf{u} \in U}
$$
the symplectic orthogonal complement of $U$.
Lemma 1.3.1 For any subspace $U$ of a symplectic vector space $(V, \omega)$ we have
$$
\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{\perp}=\operatorname{dim} V
$$
and $\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$
Proof Consider the homomorphism
$$
\begin{array}{cccc}
\phi_U: & V & \longrightarrow & U^* \
& \mathbf{v} & \longmapsto & \left.\omega(\mathbf{v},-)\right|U . \end{array} $$ Then $\operatorname{ker} \phi_U=U^{\perp}$ by the definition of $U^{\perp}$. Given any $\varphi \in U^$, extend it to a linear form $\widetilde{\varphi} \in V^$ (that is, $\left.\widetilde{\varphi}\right|_U=\varphi$ ). Since $\phi\omega$ is surjective, we find a vector $\mathbf{v} \in V$ with $\phi_\omega(\mathbf{v})=\widetilde{\varphi}$. It follows
$$
\phi_U(\mathbf{v})=\left.\phi_\omega(\mathbf{v})\right|_U=\left.\widetilde{\varphi}\right|_U=\varphi
$$
Thus, $\phi_U$ is surjective. The dimension formula for vector space homomorphisms gives
$$
\operatorname{dim} V=\operatorname{dimim} \phi_U+\operatorname{dim} \operatorname{ker} \phi_U=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{\perp} .
$$
The inclusion $U \subset\left(U^{\perp}\right)^{\perp}$ follows directly from the definition of the symplectic orthogonal complement. The dimension formula yields $\operatorname{dim} U=$ $\operatorname{dim}\left(U^{\perp}\right)^{\perp}$. This implies $\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Classical mechanics
In the Hamiltonian formalism, a mechanical system is described by a configuration space $B$, which we shall assume to be a smooth manifold, with corresponding phase space (i.e. space of positions and momenta) described by the cotangent bundle $T^* B$ of $B$. For a comprehensive introduction to the mathematical treatment of classical mechanics see the textbook by Arnold [13]. Here I only want to highlight one aspect of this mathematical set-up where contact geometry comes into play.
Consider the commutative diagram
and define a differential 1 -form $\lambda$ on $T^* B$ by $\lambda_u=u \circ T \pi$ for $u \in T^* B$. This 1 -form is called the Liouville form on $T^* B$.
Lemma 1.4.1 In local coordinates $\mathbf{q}=\left(q_1, \ldots, q_n\right)$ on the manifold $B$ and dual coordinates $\mathbf{p}=\left(p_1, \ldots, p_n\right)$ on the fibres of $T^* B$, the Liouville form $\lambda$ is equal to
$$
\lambda=\sum_{j=1}^n p_j d q_j=: \mathbf{p} d \mathbf{q} .
$$
This form can also be characterised by the property that for any differential 1 -form $\tau$ on $B$ (i.e. section of the bundle $T^* B \rightarrow B$ ) one has $\tau=\tau^* \lambda$.
Proof Denote the fibre coordinates on $T T^* B$ corresponding to the local coordinates $(\mathbf{q}, \mathbf{p})$ on $T^* B$ by $(\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{p}})$. This means that tangent vectors to $T^* B$ are written in the form $\dot{\mathbf{q}} \partial_{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}$. Recall that $(\mathbf{q}, \mathbf{p})$ is the coordinate representation of $(\mathbf{p} d \mathbf{q}){\mathbf{q}}$. Thus $$ \begin{aligned} \lambda{(\mathbf{q}, \mathbf{p})}\left(\dot{\mathbf{q}} \partial_{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}\right) & =(\mathbf{p} d \mathbf{q}){\mathbf{q}}\left(T \pi\left(\dot{\mathbf{q}} \partial{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}\right)\right) \
& =(\mathbf{p} d \mathbf{q}){\mathbf{q}}\left(\dot{\mathbf{q}} \partial{\mathbf{q}}\right) \
& =\mathbf{p} \dot{\mathbf{q}} \
& =(\mathbf{p} d \mathbf{q}){(\mathbf{q}, \mathbf{p})}\left(\dot{\mathbf{q}} \partial{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}\right),
\end{aligned}
$$
i.e. $\lambda=\mathbf{p} d \mathbf{q}$.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Interlude: symplectic linear algebra
在我们继续讨论几何和物理中各种现象的接触几何解释之前，我们先停下来回忆一下一些简单的辛线性代数。对于这些问题的完整处理，读者应该参考Cannas da Silva[40]或McDuff-Salamon[177]的教科书;在这里，我将把自己限制在那些与本书直接相关的方面。
设$V$为有限维实向量空间，$\omega$为$V$上的辛线性形式，即偏对称双线性形式，具有同态的性质
$$
\begin{array}{cccc}
\phi_\omega: \quad V & \longrightarrow V^* \
\mathbf{v} & \longmapsto \omega(\mathbf{v},-)
\end{array}
$$
是同构的。对$(V, \omega)$被称为辛向量空间。对于子空间$U \subset V$，定义
$$
U^{\perp}:={\mathbf{v} \in V: \omega(\mathbf{u}, \mathbf{v})=0 \text { for all } \mathbf{u} \in U}
$$
$U$的辛正交补。
引理1.3.1对于辛向量空间$(V, \omega)$的任意子空间$U$我们有
$$
\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{\perp}=\operatorname{dim} V
$$
还有$\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$
考虑同态
$$
\begin{array}{cccc}
\phi_U: & V & \longrightarrow & U^* \
& \mathbf{v} & \longmapsto & \left.\omega(\mathbf{v},-)\right|U . \end{array} $$然后$\operatorname{ker} \phi_U=U^{\perp}$根据$U^{\perp}$的定义。给定任意$\varphi \in U^$，将其扩展为线性形式$\widetilde{\varphi} \in V^$(即$\left.\widetilde{\varphi}\right|U=\varphi$)。因为$\phi\omega$是满射，我们找到一个含有$\phi\omega(\mathbf{v})=\widetilde{\varphi}$的向量$\mathbf{v} \in V$。下面是
$$
\phi_U(\mathbf{v})=\left.\phi_\omega(\mathbf{v})\right|_U=\left.\widetilde{\varphi}\right|_U=\varphi
$$
因此，$\phi_U$是满射的。给出了向量空间同态的维数公式
$$
\operatorname{dim} V=\operatorname{dimim} \phi_U+\operatorname{dim} \operatorname{ker} \phi_U=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^{\perp} .
$$
包含$U \subset\left(U^{\perp}\right)^{\perp}$直接来自辛正交补的定义。维度公式为$\operatorname{dim} U=$$\operatorname{dim}\left(U^{\perp}\right)^{\perp}$。这意味着$\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Classical mechanics
在哈密顿的形式中，一个机械系统用一个位形空间$B$来描述，我们假设它是一个光滑流形，对应的相空间(即位置和动量的空间)用$B$的协切束$T^* B$来描述。要全面介绍经典力学的数学处理，请参阅阿诺德[13]所著的教科书。在这里，我只想强调接触几何在数学设置中发挥作用的一个方面。
考虑交换图
在$T^* B$上定义一个微分形式$\lambda$，在$u \in T^* B$上定义$\lambda_u=u \circ T \pi$。这种1 -表格在$T^* B$上被称为刘维尔表格。
引理1.4.1在流形$B$上的局部坐标$\mathbf{q}=\left(q_1, \ldots, q_n\right)$和$T^* B$纤维上的对偶坐标$\mathbf{p}=\left(p_1, \ldots, p_n\right)$中，刘维尔式$\lambda$等于
$$
\lambda=\sum_{j=1}^n p_j d q_j=: \mathbf{p} d \mathbf{q} .
$$
这种形式也可以用以下性质来表征:对于$B$(即束$T^* B \rightarrow B$的一部分)上的任何微分1 -形式$\tau$，都有$\tau=\tau^* \lambda$。
用$(\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{p}})$表示$T T^* B$上的光纤坐标对应于$T^* B$上的本地坐标$(\mathbf{q}, \mathbf{p})$。这意味着$T^* B$的切向量写成$\dot{\mathbf{q}} \partial_{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}$的形式。回想一下，$(\mathbf{q}, \mathbf{p})$是$(\mathbf{p} d \mathbf{q}){\mathbf{q}}$的坐标表示。因此$$ \begin{aligned} \lambda{(\mathbf{q}, \mathbf{p})}\left(\dot{\mathbf{q}} \partial_{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}\right) & =(\mathbf{p} d \mathbf{q}){\mathbf{q}}\left(T \pi\left(\dot{\mathbf{q}} \partial{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}\right)\right) \
& =(\mathbf{p} d \mathbf{q}){\mathbf{q}}\left(\dot{\mathbf{q}} \partial{\mathbf{q}}\right) \
& =\mathbf{p} \dot{\mathbf{q}} \
& =(\mathbf{p} d \mathbf{q}){(\mathbf{q}, \mathbf{p})}\left(\dot{\mathbf{q}} \partial{\mathbf{q}}+\dot{\mathbf{p}} \partial_{\mathbf{p}}\right),
\end{aligned}
$$
例如:$\lambda=\mathbf{p} d \mathbf{q}$。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
