数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Computation of the Tschirnhaus Transform

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

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Recall that the matrix $C$ of the endomorphism $\mu_t$ of multiplication by $t$ (the class of $T$ in $\mathbf{B}$ ) is called the companion matrix of $f$ (see p. 81). Then the matrix (over the same basis) of $\mu_{\bar{g}}=g\left(\mu_t\right)$ is the matrix $g(C)$. Thus $\operatorname{Tsch}g(f)$ is the characteristic polynomial ${ }^2$ of $g(C)$. New Version of the Discriminant Recall (Definition II-5.33) that when $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ is a free $\mathbf{A}$-algebra of finite rank and $x_1, \ldots, x_k \in \mathbf{C}$, we call the determinant of the matrix $\left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . k \rrbracket}$ the discriminant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. We denote it by $\operatorname{disc}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.

Moreover, if $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ is an $\mathbf{A}$-basis of $\mathbf{C}$, we denote by Disc $\mathbf{C} / \mathbf{A}$ the multiplicative class of $\operatorname{disc}_{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ modulo the squares of $\mathbf{A}^{\times}$. We call it the discriminant of the extension $\mathbf{C} / \mathbf{A}$.

In this subsection, we make the link between the discriminant of free algebras of finite rank and the discriminant of monic polynomials.

Let us emphasize the remarkable character of the implication $l a \Rightarrow l b$ in the following proposition.
5.10 Proposition (Trace-valued discriminant) Let $\mathbf{B}$ be a free $\mathbf{A}$-algebra of finite rank $n, x \in \mathbf{B}$ and $f=\mathrm{C}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(x)(T)$. We have $$ \operatorname{disc}\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)=\operatorname{disc}(f)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \mathrm{~N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}\left(f^{\prime}(x)\right) .
$$
We say that $f^{\prime}(x)$ is the different of $x$. The following results ensue.

The following properties are equivalent.
a. $\operatorname{disc}(f) \in \mathbf{A}^{\times}$.
b. $\operatorname{Disc}{\mathbf{B} / \mathbf{A}} \in \mathbf{A}^{\times}$and $\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$ is an $\mathbf{A}$-basis of $\mathbf{B}$. c. $\operatorname{Disc}{\mathbf{B} / \mathbf{A}} \in \mathbf{A}^{\times}$and $\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$.

If $\mathrm{Disc}{\mathbf{B} / \mathrm{A}}$ is regular, the following properties are equivalent. a. $\operatorname{Disc}{\mathbf{B} / \mathrm{A}}$ and $\operatorname{disc}(f)$ are associated elements.
b. $\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$ is an $\mathbf{A}$-basis of $\mathbf{B}$.
c. $\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$.

The discriminant of a monic polynomial $g \in \mathbf{A}[T]$ represents (modulo the squares of $\left.\mathbf{A}^{\times}\right)$the discriminant of the extension $\mathbf{A}[T] /\langle g\rangle$ of $\mathbf{A}$. We have $\operatorname{disc}_T(g) \in \mathbf{A}^{\times}$ if and only if $\left\langle g(T), g^{\prime}(T)\right\rangle=\mathbf{A}$.

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6.1 Proposition Let $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ be rings and $f \in \mathbf{A}[T]$ be some monic polynomial of degree $n$.

1. If $z$ is a zero of $f$ in $\mathbf{B}, f(T)$ is divisible by $T-z$ in $\mathbf{B}[T]$.
2. Henceforth assume that $\mathbf{B}$ is integral and nontrivial. ${ }^4$ If $z_1, \ldots, z_k$ are the pairwise distinct zeros of $f$ in $\mathbf{B}$, the polynomial $f(T)$ is divisible by $\prod_{i=1}^k\left(T-z_i\right)$ in $\mathbf{B}[T]$.
3. In addition, if $k=n$, then $f(T)=\prod_{i=1}^n\left(T-z_i\right)$, and the $z_i$ ‘s are the only zeros of $f$ in $\mathbf{B}$ and in every integral extension of $\mathbf{B}$.

D The proof is immediate. Certain more precise results are in Exercise 1, which is dedicated to Lagrange interpolation.
Strictly Finite Algebras over a Discrete Field
6.2 Definition A K-algebra $\mathbf{A}$ is said to be strictly finite if it is a free $\mathbf{K}$-vector space of finite dimension.

In other words, we know of a finite basis of $\mathbf{A}$ as in a $\mathbf{K}$-vector space. In this case, for some $x \in \mathbf{A}$, the trace, the norm, the characteristic polynomial of (multiplication by) $x$, as well as the minimal polynomial of $x$ over $\mathbf{K}$, denoted by $\operatorname{Min}_{\mathbf{K}, x}(T)$ or $\operatorname{Min}_x(T)$, can be computed by standard methods of the linear algebra over a discrete field. Similarly, every finite $\mathbf{K}$-subalgebra of $\mathbf{A}$ is strictly finite and the intersection of two strictly finite subalgebras is strictly finite.

交换代数代写

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回想一下，乘$t$的自同态$\mu_t$ ($\mathbf{B}$中的$T$类)的矩阵$C$称为$f$的伴矩阵(参见第81页)。那么(在相同的基础上)$\mu_{\bar{g}}=g\left(\mu_t\right)$的矩阵就是矩阵$g(C)$。因此$\operatorname{Tsch}g(f)$是$g(C)$的特征多项式${ }^2$。判别式查全的新版本(定义II-5.33)，当$\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$是一个有限秩的自由$\mathbf{A}$ -代数和$x_1, \ldots, x_k \in \mathbf{C}$时，我们称矩阵$\left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . k \rrbracket}$的行列式为$\left(x_1, \ldots, x_k\right)$的判别式。我们用$\operatorname{disc}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$表示。

此外，如果$\left(x_1, \ldots, x_k\right)$是$\mathbf{C}$的一个$\mathbf{A}$ -基，我们用Disc $\mathbf{C} / \mathbf{A}$表示$\operatorname{disc}_{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$对$\mathbf{A}^{\times}$的平方取模的乘法类。我们称之为扩展$\mathbf{C} / \mathbf{A}$的判别式。

在本节中，我们把有限秩自由代数的判别式和一元多项式的判别式联系起来。

让我们强调以下命题中蕴含$l a \Rightarrow l b$的显著特征。
5.10命题(迹值判别式)设$\mathbf{B}$是一个自由的$\mathbf{A}$ -有限秩代数$n, x \in \mathbf{B}$和$f=\mathrm{C}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(x)(T)$。我们有$$ \operatorname{disc}\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)=\operatorname{disc}(f)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \mathrm{~N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}\left(f^{\prime}(x)\right) .
$$
我们说$f^{\prime}(x)$是$x$的差值。结果如下。

以下属性是等价的。
A. $\operatorname{disc}(f) \in \mathbf{A}^{\times}$;
B. $\operatorname{Disc}{\mathbf{B} / \mathbf{A}} \in \mathbf{A}^{\times}$和$\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$是$\mathbf{B}$的$\mathbf{A}$基础。C. $\operatorname{Disc}{\mathbf{B} / \mathbf{A}} \in \mathbf{A}^{\times}$和$\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$。

如果$\mathrm{Disc}{\mathbf{B} / \mathrm{A}}$是正则的，则以下属性是等价的。答:$\operatorname{Disc}{\mathbf{B} / \mathrm{A}}$和$\operatorname{disc}(f)$是相互关联的元素。
B. $\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$是$\mathbf{B}$的$\mathbf{A}$基础。
C. $\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$。

一元多项式$g \in \mathbf{A}[T]$的判别式表示(对$\left.\mathbf{A}^{\times}\right)$的平方取模)$\mathbf{A}$的展开式$\mathbf{A}[T] /\langle g\rangle$的判别式。我们有$\operatorname{disc}_T(g) \in \mathbf{A}^{\times}$当且仅当$\left\langle g(T), g^{\prime}(T)\right\rangle=\mathbf{A}$。

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6.1命题设$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$为环，$f \in \mathbf{A}[T]$为次为$n$的某一元多项式。

如果 $z$ 是0 $f$ 在 $\mathbf{B}, f(T)$ 能被 $T-z$ 在 $\mathbf{B}[T]$．

因此，假设$\mathbf{B}$是积分且非平凡的。${ }^4$如果$z_1, \ldots, z_k$是$\mathbf{B}$中$f$的两两不同的零，则多项式$f(T)$可以被$\mathbf{B}[T]$中的$\prod_{i=1}^k\left(T-z_i\right)$整除。

此外，如果$k=n$，那么$f(T)=\prod_{i=1}^n\left(T-z_i\right)$和$z_i$是$f$在$\mathbf{B}$和$\mathbf{B}$的每一个积分扩展中的唯一的零。

D证据是直接的。练习1中给出了更精确的结果，这是专门用于拉格朗日插值的。
离散域上的严格有限代数
6.2定义如果一个k代数$\mathbf{A}$是一个有限维的自由$\mathbf{K}$ -向量空间，则称它是严格有限的。

换句话说，我们知道$\mathbf{A}$在$\mathbf{K}$向量空间中的有限基。在这种情况下，对于某些$x \in \mathbf{A}$，迹、范数、(乘以)$x$的特征多项式，以及$x$ / $\mathbf{K}$的最小多项式，用$\operatorname{Min}_{\mathbf{K}, x}(T)$或$\operatorname{Min}_x(T)$表示，可以用离散域上线性代数的标准方法计算。同样，$\mathbf{A}$的每一个有限的$\mathbf{K}$ -子代数都是严格有限的，两个严格有限子代数的交集也是严格有限的。

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