数学代写|Existence of the Rubinstein{Sarnak distribution 数论代考
数论代考
The proof of Theorem $5.2 .2$ depends roughly on two ingredients:
- On the arithmetic side, we can represent the arithmetic random functions $\mathrm{N}_{\mathrm{X}}$ as combinations of $x \mapsto x^{i \gamma}$, where the $\gamma$ are ordinates of zeros of the L-functions modulo $q$;
- Once this is done, we observe that Kronecker’s Equidistribution Theorem (Theorem B.6.5) implies convergence in law for any function of this type.
There are some intermediate approximation steps involved, but the ideas are quite intuitive.
In this section, we always assume the validity of the Generalized Riemann Hypothesis modulo q, unless otherwise noted.
For a Dirichlet character $\chi$ modulo $q$, we define random variables $\psi_{\chi}$ on $\Omega_{\mathrm{X}}$ by
$$
\psi_{\chi}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n) \chi(n)
$$
for $x \in \Omega_{\mathrm{X}}$, where $\Lambda$ is the von Mangoldt function (see Section C.4, especially (C.6), for the definition of this function).
The next lemma is a key step to express $N_{X}$ in terms of Dirichlet characters. It looks first like standard harmonic analysis, but there is a subtle point in the proof that is crucial for the rest of the argument, and for the very existence of the Chebychev bias.
LEMMA 5.3.1. We have
$$
\mathrm{N}{\mathrm{X}, q}=m{q}+\sum_{\chi(\bmod q)}^{} \psi_{\chi} \bar{\chi}+\mathrm{E}{\mathrm{X}, q} $$ where $\mathrm{E}{\mathrm{X}, q}$ converges to 0 in probability as $\mathrm{X} \rightarrow+\infty$. PROOF. By orthogonality of the Dirichlet characters modulo $q$ (see Proposition C.5.1), we have
$$
\varphi(q) \pi(x ; q, a)=\sum_{\chi(\bmod q)} \overline{\chi(a)} \sum_{p \leqslant x} \chi(p)
$$
hence
$$
\frac{\log x}{\sqrt{x}}(\varphi(q) \pi(x ; q, a)-\pi(x))=\sum_{\chi(\bmod q)}^{} \frac{}{\chi(a)} \frac{\log x}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant x} \chi(p)+\mathrm{O}\left(\frac{\log x}{\sqrt{x}}\right)
$$
for $x \geqslant 2$, where the error term accounts for primes $p$ dividing $q$ (for which the trivial character takes the value 0 instead of 1 ); in particular, the implied constant depends on $q$. We now need to connect the sum over primes, for a fixed character $\chi$, to $\psi_{\chi}$. Recall that the von Mangoldt functions differs little
multiplied by the logarithm function. The sum of this simpler function is the random variable defined by $\theta_{\chi}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant x} \chi(p) \log (p)$
$\Omega_{\mathrm{x}}$. It is related $\theta_{\chi}(x)-\psi_{\chi}(x)=-\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k \geqslant 2} \sum_{p^{k} \leqslant x} \chi\left(p^{k}\right) \log p=-\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k \geqslant 2} \sum_{p^{k} \leqslant x} \chi(p)^{k} \log p .$
We can immediately see that the contribution of $k \geqslant 3$ is very small: since the exponent $k$ is at most of size $\log x$, and $|\chi(p)| \leqslant 1$ for all primes $p$, it is bounded by
where the implied constant is absolute.
For $k=2$, there are two cases. If $\chi^{2}$ is the trivial character then
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant \sqrt{x}} \chi(p)^{2} \log p=\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{\substack{p \leqslant \sqrt{x} \ p \nmid q}} \log p=1+\mathrm{O}\left(\frac{1}{\log x}\right)
$$
by a simple form of the Prime Number Theorem in arithmetic progressions (the Generalized Riemann Hypothesis would of course give a much better error term, but this is not needed here). If $\chi^{2}$ is non-trivial, then we have
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant \sqrt{x}} \chi(p)^{2} \log p \ll \frac{1}{\log x}
$$
for the same reason. Thus we have
定理 $5.2 .2$ 的证明大致取决于两个要素：
- 在算术方面，我们可以将算术随机函数 $\mathrm{N}_{\mathrm{X}}$ 表示为 $x \mapsto x^{i \gamma}$ 的组合，其中 $\gamma$是 L 函数模 $q$ 的零点的纵坐标；
- 一旦完成，我们观察到 Kronecker 的均衡分布定理（定理 B.6.5）意味着任何此类函数的收敛性。
涉及一些中间近似步骤，但这些想法非常直观。
在本节中，除非另有说明，否则我们总是假设广义黎曼假设模 q 的有效性。
对于狄利克雷字符 $\chi$ 模 $q$，我们在 $\Omega_{\mathrm{X}}$ 上定义随机变量 $\psi_{\chi}$
$$
\psi_{\chi}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n) \chi(n)
$$
对于 $x \in \Omega_{\mathrm{X}}$，其中 $\Lambda$ 是 von Mangoldt 函数（有关此函数的定义，请参见第 C.4 节，尤其是 (C.6)）。
下一个引理是用狄利克雷字符表示 $N_{X}$ 的关键步骤。它首先看起来像标准谐波分析，但证明中有一个微妙的点对于论证的其余部分以及切比雪夫偏差的存在至关重要。
引理 5.3.1。我们有
$$
\mathrm{N}{\mathrm{X}, q}=m{q}+\sum_{\chi(\bmod q)}^{*} \psi_{\chi} \bar{\chi}+\ mathrm{E}{\mathrm{X}, q} $$ 其中 $\mathrm{E}{\mathrm{X}, q}$ 收敛到 0 的概率为 $\mathrm{X} \rightarrow+\infty$。证明。通过 Dirichlet 字符模 $q$ 的正交性（见命题 C.5.1），我们有
$$
\varphi(q) \pi(x ; q, a)=\sum_{\chi(\bmod q)} \overline{\chi(a)} \sum_{p \leqslant x} \chi(p)
$$
因此
$$
\frac{\log x}{\sqrt{x}}(\varphi(q) \pi(x ; q, a)-\pi(x))=\sum_{\chi(\bmod q)}^{ *} \frac{}{\chi(a)} \frac{\log x}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant x} \chi(p)+\mathrm{O}\left(\ frac{\log x}{\sqrt{x}}\right)
$$
对于 $x \geqslant 2$，其中错误项说明素数 $p$ 除以 $q$（其中平凡字符取值 0 而不是 1 ）；特别是，隐含常数取决于 $q$。我们现在需要将固定字符 $\chi$ 的素数之和连接到 $\psi_{\chi}$。回想一下 von Mangoldt 函数差别不大
乘以对数函数。这个更简单的函数的和是由 $\theta_{\chi}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant x} \chi(p) \log 定义的随机变量(p)$
$\Omega_{\mathrm{x}}$。它是相关的 $\theta_{\chi}(x)-\psi_{\chi}(x)=-\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k \geqslant 2} \sum_{p^ {k} \leqslant x} \chi\left(p^{k}\right) \log p=-\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k \geqslant 2} \sum_{p^ {k} \leqslant x} \chi(p)^{k} \log p .$
我们可以立即看到$k \geqslant 3$ 的贡献非常小：因为指数$k$ 的大小最多为$\log x$，并且$|\chi(p)| \leqslant 1$ 对于所有素数 $p$，它有界
其中隐含常数是绝对的。
对于$k=2$，有两种情况。如果 $\chi^{2}$ 是微不足道的字符，那么
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant \sqrt{x}} \chi(p)^{2} \log p=\frac{1}{\sqrt{x}} \ sum_{\substack{p \leqslant \sqrt{x} \ p \nmid q}} \log p=1+\mathrm{O}\left(\frac{1}{\log x}\right)
$$
通过算术级数中素数定理的简单形式（广义黎曼假设当然会给出更好的误差项，但这里不需要）。如果 $\chi^{2}$ 是非平凡的，那么我们有
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{p \leqslant \sqrt{x}} \chi(p)^{2} \log p \ll \frac{1}{\log x}
$$
出于同样的原因。因此我们有
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
