统计代写|Variance of a Su抽样理论代考
统计代写
We now turn to the variance of a sum of two random variables.
- Let $X$ and $Y$ be two random variables. Then,
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y)
$$
In particular, if $X$ and $Y$ are independent then
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) .
$$
We now prove this formula. By definition of the variance,
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=E\left[(X+Y-E(X+Y))^{2}\right] .
$$
Note that,
$$
\begin{aligned}
(X+Y-E(X+Y))^{2}=&(X-E(X)+Y-E(Y))^{2} \
=&(X-E(X))^{2}+(Y-E(Y))^{2} \
&+2(X-E(X))(Y-E(Y))
\end{aligned}
$$
By taking expectations on both sides of the equality above,
$$
\begin{aligned}
E\left[(X+Y-E(X+Y))^{2}\right]=& E\left[(X-E(X))^{2}\right]+E\left[(Y-E(Y))^{2}\right] \
&+2 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
\end{aligned}
$$
Hence,
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y)
$$
Problems
- Let $X, Y$, and $U$ be random variables and $a$ and $b$ be real numbers. Show the following properties of the covariance:
(a) $\operatorname{Cov}(X, X)=\operatorname{Var}(X)$.
(b) $\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X)$.
(c) $\operatorname{Cov}(a X, Y)=a \operatorname{Cov}(X, Y)$.
(d) $\operatorname{Cov}(U, a X+b Y)=a \operatorname{Cov}(U, X)+b \operatorname{Cov}(U, Y)$.
(e) $\operatorname{Cov}(X, a)=0$.
192
17 Covariance and Independence - Let $X, Y$ be random variables. Show that
variables. Show that $\quad 17$ Cov
$$
\operatorname{Cov}(X-Y, X+Y)=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y) .
$$ - Let $f(x, y)=e^{-y}$ for $0<x<y$ be the joint probability density of the vector $(X, Y)$.
(a) Show that $f$ is indeed a probability density.
(b) Show that $E(X)=1, E(Y)=2$, and $E(X Y)=3$.
(c) What is the covariance of $(X, Y)$ ?
(d) Are $X$ and $Y$ independent?
(e) What is the correlation of $X$ and $Y$ ? - Let $f(x, y)=8 x y$ for $0<y<x<1$ be the joint probability density of the vector $(X, Y)$.
(a) Show that $E(X)=4 / 5, E(Y)=8 / 15$, and $E(X Y)=4 / 9$.
(b) What is the covariance of $(X, Y)$ ?
(c) Compute the correlation of $(X, Y)$. - Let $Z$ be a standard normal variable.
(a) Show that $Z$ and $Z^{2}$ are uncorrelated.
(b) Are $Z$ and $Z^{2}$ independent? - Let $X$ and $Y$ be random variables and $a$ and $b$ be real numbers.
我们现在转向两个随机变量之和的方差。
- 让 $X$ 和 $Y$ 是两个随机变量。然后，
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y)
$$
特别是，如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的，那么
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) 。
$$
我们现在证明这个公式。根据方差的定义，
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=E\left[(X+Y-E(X+Y))^{2}\right] 。
$$
注意，
$$
\开始{对齐}
(X+Y-E(X+Y))^{2}=&(X-E(X)+Y-E(Y))^{2} \
=&(X-E(X))^{2}+(Y-E(Y))^{2} \
&+2(X-E(X))(Y-E(Y))
\end{对齐}
$$
通过对上述等式两边的期望，
$$
\开始{对齐}
E\left[(X+YE(X+Y))^{2}\right]=& E\left[(XE(X))^{2}\right]+E\left[(YE(Y) )^{2}\右] \
&+2 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
\end{对齐}
$$
因此，
$$
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y)
$$
问题
- 令 $X、Y$ 和 $U$ 为随机变量，$a$ 和 $b$ 为实数。显示协方差的以下属性：
(a) $\operatorname{Cov}(X, X)=\operatorname{Var}(X)$。
(b) $\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X)$。
(c) $\operatorname{Cov}(a X, Y)=a \operatorname{Cov}(X, Y)$。
(d) $\operatorname{Cov}(U, a X+b Y)=a \operatorname{Cov}(U, X)+b \operatorname{Cov}(U, Y)$。
(e) $\operatorname{Cov}(X, a)=0$。
192
第17章协方差和独立性 - 令$X, Y$ 为随机变量。显示
变量。显示 $\quad 17$ Cov
$$
\operatorname{Cov}(X-Y, X+Y)=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y) 。
$$ - 令$f(x, y)=e^{-y}$ for $0<x<y$ 为向量$(X, Y)$ 的联合概率密度。
(a) 证明$f$ 确实是一个概率密度。
(b) 证明$E(X)=1，E(Y)=2$，并且$E(X Y)=3$。
(c) $(X, Y)$ 的协方差是多少？
(d) $X$ 和 $Y$ 是独立的吗？
(e) $X$ 和 $Y$ 的相关性是什么？ - 令$f(x, y)=8 x y$ for $0<y<x<1$ 为向量$(X, Y)$ 的联合概率密度。
(a) 证明$E(X)=4 / 5，E(Y)=8 / 15$，并且$E(X Y)=4 / 9$。
(b) $(X, Y)$ 的协方差是多少？
(c) 计算$(X, Y)$ 的相关性。 - 令 $Z$ 为标准正态变量。
(a) 证明 $Z$ 和 $Z^{2}$ 不相关。
(b) $Z$ 和 $Z^{2}$ 是独立的吗？ - 令$X$ 和$Y$ 是随机变量，$a$ 和$b$ 是实数。
统计代考
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相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
