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By admin 数学代写 2022年3月21日

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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ODE
微分学

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1 微积分代考calculus代写|Limit

2 微积分代考CALCULUS代写|Differentiation

3 微积分代考CALCULUS代写|LIMIT

4 微积分代考CALCULUS代写|DIFFERENTIATION

5 组合数学代考

5.1 统计作业代写

微积分代考calculus代写|Limit

Using the definition of limit, show that $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x}{4 x-9}=1$.
Show that the function $f$ defined by $f(x)=\left{\begin{array}{ll}x, & \text { if } x<1, \ 1+x, & \text { if } x \geq 1\end{array}\right.$ does not have the limit as $x \rightarrow 1$.
Let $f$ be defined by $f(x)= \begin{cases}3-x, & \text { if } x>1, \ 1, & \text { if } x=1, \text { Find } \lim _{x \rightarrow 1} f(x) . \text { Is this limit } \ 2 x, & \text { if } x<1 .\end{cases}$ equal to $f(1)$ ?
In the following cases, find the left limit and right limit of $f$ at 1 and check whether they are equal and equal to $f(1)$ :
(i) $f(x)=\left{\begin{array}{l}x, \text { if } x \leq 1, \ 2, \text { if } x>1 .\end{array}\right.$ (ii) $f(x)=\left{\begin{array}{l}x, \text { if } x \leq 1, \ 1, \text { if } x>1\end{array}\right.$
Let $f$ be defined on a deleted neighbourhood $D_{0}$ of a point $x_{0}$ and $\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)=$ $b$. If $b \neq 0$, then show that there exists $\delta>0$ such that $f(x) \neq 0$ for every $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \cap D_{0} .$
Let $f$ be defined by $f(x)=\left{\begin{array}{l}1, \text { if } x \in \mathbb{Q} \ 0, \text { if } x \notin \mathbb{Q} \text {. Show that }\end{array}\right.$
(a) $\lim {x \rightarrow a} f(x)$ does not exist for any $a \in \mathbb{R}$, and (b) $\lim {x \rightarrow a}(x-a) f(x)=0$ for every $a \in \mathbb{R}$.
Suppose $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ and $b \in \mathbb{R}$. Show that, if $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$ and $\lim {x \rightarrow \infty}$ $g(x)=b$, then $\lim _{x \rightarrow \infty}(g \circ f)(x)=b .$
Give an example in which $\lim {x \rightarrow a} f(x)=b$ and $\lim {y \rightarrow b} g(y)=c$, but $\lim _{x \rightarrow a}(g \circ$ $f)(x) \neq c$.
Let $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$. Show that $\lim {x \rightarrow 0} f(x)=b$ if and only if $\lim {x \rightarrow \infty} f(1 / x)=$ b.
Suppose $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=b$ and $\lim {x \rightarrow \infty} g(x)=c$. Verify the following.
(a) $\lim {x \rightarrow \infty}[f(x)+g(x)]=b+c$ and $\lim {x \rightarrow \infty} f(x) g(x)=b c$.
(b) If $c \neq 0$, then there exists $M_{0}>0$ such that $g(x) \neq 0$ for all $x>M_{0}$ and $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c} .$
State and prove sequential characterization for the following:2 Limit, Continuity and Differentiability of Functions
$$
\lim {x \rightarrow a} f(x)=\infty, \quad \lim {x \rightarrow a} f(x)=-\infty, \quad \lim {x \rightarrow+\infty} f(x)=\infty, $$ $$ \lim {x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty, \lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=\infty, \lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty
$$
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be such that $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Suppose $\lim {x \rightarrow 0} f(x)$ exists. Prove that $\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0$ and $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$ for any $c \in \mathbb{R}$.

微积分代考CALCULUS代写|Differentiation

Prove that the function $f(x)=|x|, x \in \mathbb{R}$ is not differentiable at 0 .
Let $x_{0}$ be an interior point of an interval $I$. Prove that $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable at $x_{0}$ if and only if $f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ and $f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ exist and $f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)$, and in that case $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
Consider a polynomial $p(x)=a_{0}+a_{1} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$ with real coefficients $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ such that $a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\ldots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$. Show that there exists $x_{0} \in \mathbb{R}$ such that $p\left(x_{0}\right)=0$. [Note that the conclusion need not hold if the condition imposed on the coefficients is dropped. To see this, consider $p(x)=1+x^{2}$.]
Let $I$ and $J$ be open intervals and $f: I \rightarrow J$ be bijective and differentiable at every $x_{0} \in I$. If $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, then show that the inverse function $f^{-1}: J \rightarrow I$ is also differentiable at $x_{0}$ and $\left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(x_{0}\right)=1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be defined by2 Limit, Continuity and Differentiability of Functions
and show that the resulting function $f$ is not differentiable at $\left.x_{0}=1 / 2 .\right]$
Suppose $f$ is differentiable on $(0, \infty)$ and $\lim {x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$. Prove Suppose $f$ is differentiable on $(0, \infty)$ and $\lim {x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$. Prove that $\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]=0 .$
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be defined by $f(x)=1+x+x^{3}$. Prove that $f$ is a bijection. [Hint: Use Intermediate value theorem and mean value theorem.]
Let $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ be a continuous function which is differentiable on $(a, b)$. Prove the following.

微积分代考CALCULUS代写|LIMIT

使用极限的定义，证明林X→3X4X−9=1.
显示该函数F由 $f(x)=\left{ 定义X, 如果 X<1, 1+X, 如果 X≥1\正确的。d○和sn○吨H一种v和吨H和一世一世米一世吨一种sx \rightarrow 1$。
让F定义为F(X)={3−X, 如果 X>1, 1, 如果 X=1, 找林X→1F(X). 这是极限吗 2X, 如果 X<1.等于F(1)?
在下列情况下，求左极限和右极限F在 1 并检查它们是否相等且等于F(1):
(i) $f(x)=\left{X, 如果 X≤1, 2, 如果 X>1.\正确的。(一世一世)f(x)=\左{X, 如果 X≤1, 1, 如果 X>1\对。$
让F在删除的邻域上定义D0一点的X0和 $\lim {x \rightarrow x {0}} f(x)=b.一世Fb\neq 0,吨H和nsH○在吨H一种吨吨H和r和和X一世s吨s\delta>0s你CH吨H一种吨f(x) \neq 0F○r和v和r和x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \cap D_{0} .$
让F由 $f(x)=\left{ 定义1, 如果 X∈问 0, 如果 X∉问. 显示 \正确的。(一种)\lim {x \rightarrow a} f(x)d○和sn○吨和X一世s吨F○r一种n和一个 \in \mathbb{R},一种nd(b)\lim {x \rightarrow a}(xa) f(x)=0F○r和v和r和一个 \in \mathbb{R}$。
认为F,G:R→R和b∈R. 证明，如果 $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=\infty一种nd\lim {x \rightarrow \infty}g(x)=b,吨H和n\lim _{x \rightarrow \infty}(g \circ f)(x)=b .$
举一个例子，其中 $\lim {x \rightarrow a} f(x)=b一种nd\lim {y \rightarrow b} g(y)=c,b你吨\lim _{x \rightarrow a}(g \circf)(x) \neq c$。
让F:(0,∞)→R. 证明 $\lim {x \rightarrow 0} f(x)=b一世F一种nd○n一世和一世F\lim {x \rightarrow \infty} f(1 / x)=$ b。
假设 $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=b一种nd\lim {x \rightarrow \infty} g(x)=c.五和r一世F和吨H和F○一世一世○在一世nG.(一种)\lim {x \rightarrow \infty}[f(x)+g(x)]=b+c一种nd\lim {x \rightarrow \infty} f(x) g(x)=bc.(b)一世Fc\neq 0,吨H和n吨H和r和和X一世s吨sM_{0}>0s你CH吨H一种吨g (x) \ neq 0F○r一种一世一世x>M_{0}一种nd\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c} .$
陈述并证明以下的序列表征：2 函数的极限、连续性和可微性
$$
\lim {x \rightarrow a} f(x)=\infty, \quad \lim {x \rightarrow a} f(x)= -\infty, \quad \lim {x \rightarrow+\infty} f(x)=\infty,\lim {x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty, \lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=\infty, \lim {x \rightarrow-\infty} f(x) =-\infty
$$
让F:R→R是这样的F(X+和)=F(X)+F(和). 假设 $\lim {x \rightarrow 0} f(x)和X一世s吨s.磷r○v和吨H一种吨\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0一种nd\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)F○r一种n和c \in \mathbb{R}$。

微积分代考CALCULUS代写|DIFFERENTIATION

证明函数F(X)=|X|,X∈R在 0 处不可微。
让X0是区间的内点一世. 证明F:一世→R可微分于X0当且仅当F+′(X0)和F−′(X0)存在并且F−′(X0)=F+′(X0), 在这种情况下F′(X0)=F−′(X0)=F+′(X0).
考虑一个多项式p(X)=一种0+一种1X2+…+一种nXn有实系数一种0,一种1,…,一种n这样一种0+一种12+一种23+…+一种nn+1=0. 证明存在X0∈R这样p(X0)=0. [请注意，如果放弃对系数施加的条件，则结论不必成立。要看到这一点，请考虑p(X)=1+X2.]
让一世和Ĵ是开区间和F:一世→Ĵ是双射的和可微的X0∈一世. 如果F′(X0)≠0，然后证明反函数F−1:Ĵ→一世也可微分于X0和(F−1)′(X0)=1/F′(X0).
让F:R→R被定义为 2 函数的极限、连续性和可微性，
并表明得到的函数F不可微分X0=1/2.]
认为F是可微的(0,∞)和 $\lim {x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0.磷r○v和小号你pp○s和F一世sd一世FF和r和n吨一世一种b一世和○n(0, \infty)一种nd\lim {x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0.磷r○v和吨H一种吨\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]=0 .$
让F:R→R定义为F(X)=1+X+X3. 证明F是双射。[提示：使用中值定理和中值定理。]
让F:[一种,b]→R是一个可微分的连续函数(一种,b). 证明以下。