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运筹学代写
数学代写|matlab作业代写|Interlude: Function Interpolation by Cubic Splines in MATLAB
Let us consider a value function $V_{t}(s)$ for a one-dimensional state $s$, a real number. Conceptually, this value function is an object within an infinite-dimensional space of functions. Unless the problem features a special structure, we should build $V_{t}(s)$ by solving an infinite number of optimization subproblems, of the form of Eq. (1.22), for each state $s$ and each time instant $t$. In practice, we may evaluate $V_{t}(s)$ only at a finite set of states, on a discretized grid, and resort to some approximation or interpolation method to find state values outside the grid. The simplest approach would be to resort to a piecewise linear interpolation, but this yields a non-smooth function, which is not quite suitable to numerical optimization. Furthermore, the second-order derivative would be either zero or undefined. A smoother function may be obtained by polynomial interpolation, which is justified by one of Weierstrass’ theorems, stating that a continuous function on an interval may be approximated, to any desired degree of accuracy, by a polynomial. Polynomial interpolation is performed quite easily in MATLAB, as illustrated by the script of Fig. 2.3. Here, we consider a grid consisting of points ${1,5,20,30,50}$, over which we evaluate the natural logarithm. Linear interpolation is achieved by the interpl function. Alternatively, we may fit a polynomial of order four (since we have five gridpoints), by using polyfit; the function polyval is then used to evaluate the resulting polynomial outside the grid. The MATLAB script of Fig. $2.3$ produces the plot of Fig. 2.4. We notice that polynomial interpolation suffers from unacceptable oscillations. Unfortunately, a nice, concave, and monotonically increasing function is approximated by a non-monotonic function, which will clearly play havoc with optimization procedures. The trouble is that a single high-order polynomial, to be applied over the whole grid, is prone to such oscillations. A standard alternative is to resort to a piecewise polynomial function of lower order, where each piece is a polynomial associated with a single subinterval on the grid. A common choice is to use cubic splines, i.e., to associate a polynomial of order 3 with each interval.
数学代写|MATLAB作业代写|Solving the Continuous Budget Allocation Problem by Numerical DP
It is instructive to use a cubic spline approximation to come up with a numerical approach to solve the continuous budget allocation problem and check whether we do recover the obvious solution. The simplest discretization of the state space is based on the following:
- We set up a uniform grid for the interval $[0, B]$, which is replicated for each stage, as shown in Fig. 2.8. The grid includes $m+1$ state values for each time instant, where we set a uniform discretization step $\delta s=B / m$; hence, we only consider states of the form $j \cdot \delta s, j=0,1, \ldots, m$. In order to compute the value function for each point on the grid, we solve a subproblem of the form (2.3). Each optimization is solved numerically, and since we just deal with one-dimensional optimization on a bounded interval, this can be accomplished by the MATLAB function eminbnd. ${ }^{7}$
- In the numerical optimization procedure, we need to evaluate the value function outside the grid, which is accomplished by cubic splines to approximate values of $V_{k}(s)$ for an arbitrary residual budget $s$. Note that, actually, we only need to approximate value functions for $k=n-1, n-2, \ldots, 2$. The boundary condition on $V_{n}(\cdot)$ is trivial, like in the knapsack problem, and we stop with the value function $V_{2}(\cdot)$, as we assume that we want to solve the problem for a specific budget $B$. In other words, we need the value function $V_{1}(\cdot)$ only for the given budget $B$.
matlab代写
数学代写|MATLAB作业代写|INTERLUDE: FUNCTION INTERPOLATION BY CUBIC SPLINES IN MATLAB
让我们考虑一个价值函数五吨(s)对于一维状态s，一个实数。从概念上讲，这个价值函数是无限维函数空间中的一个对象。除非问题具有特殊结构，否则我们应该构建五吨(s)通过解决无限数量的优化子问题，形式为等式。1.22, 对于每个状态s并且每次瞬间吨. 在实践中，我们可以评估五吨(s)仅在有限的状态集上，在离散网格上，并诉诸某种近似或插值方法来找到网格外的状态值。最简单的方法是采用分段线性插值，但这会产生一个非平滑函数，不太适合数值优化。此外，二阶导数将为零或未定义。可以通过多项式插值获得更平滑的函数，这由 Weierstrass 定理之一证明是正确的，表明区间上的连续函数可以通过多项式近似到任何所需的准确度。多项式插值在 MATLAB 中很容易执行，如图 2.3 的脚本所示。在这里，我们考虑一个由点组成的网格1,5,20,30,50，我们在其上评估自然对数。线性插值是通过 interpl 函数实现的。或者，我们可以拟合四阶多项式s一世nC和在和H一种v和F一世v和Gr一世dp○一世n吨s, 通过使用 polyfit; 然后使用函数 polyval 来评估网格外的结果多项式。图 1 的 MATLAB 脚本2.3产生图 2.4 的图。我们注意到多项式插值存在不可接受的振荡。不幸的是，一个很好的、凹的和单调递增的函数被一个非单调函数逼近，这显然会对优化过程造成严重破坏。问题在于，应用于整个网格的单个高阶多项式很容易出现这种振荡。一个标准的替代方法是诉诸低阶分段多项式函数，其中每个部分都是与网格上的单个子区间相关联的多项式。一个常见的选择是使用三次样条，即将一个 3 阶多项式与每个区间相关联。
数学代写|MATLAB作业代写|SOLVING THE CONTINUOUS BUDGET ALLOCATION PROBLEM BY NUMERICAL DP
使用三次样条近似提出数值方法来解决连续预算分配问题并检查我们是否确实恢复了明显的解决方案是有益的。状态空间最简单的离散化基于以下内容：
- 我们为区间设置了一个统一的网格[0,乙]，为每个阶段复制，如图 2.8 所示。网格包括米+1每个时刻的状态值，我们设置一个统一的离散化步骤ds=乙/米; 因此，我们只考虑形式的状态j⋅ds,j=0,1,…,米. 为了计算网格上每个点的值函数，我们求解形式为的子问题2.3. 每个优化都是用数值求解的，因为我们只处理有界区间上的一维优化，这可以通过 MATLAB 函数 eminbnd 来完成。7
- 在数值优化过程中，我们需要评估网格外的值函数，这是通过三次样条来近似值的五到(s)对于任意剩余预算s. 请注意，实际上，我们只需要近似值函数到=n−1,n−2,…,2. 边界条件五n(⋅)是微不足道的，就像在背包问题中一样，我们停止使用价值函数五2(⋅)，因为我们假设我们要解决特定预算的问题乙. 换句话说，我们需要价值函数五1(⋅)仅适用于给定的预算乙.
统计代考
统计是汉语中的“统计”原有合计或汇总计算的意思。 英语中的“统计”（Statistics）一词来源于拉丁语status，是指各种现象的状态或状况。
数论代考
数论（number theory ），是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。 整数可以是方程式的解（丢番图方程）。 有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。 透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）
数值分析代考
数值分析NumericalAnalysis，又名“计算方法”，是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。 它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分。
随机过程代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
