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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Rejection sampling

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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Rejection sampling

统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Basic rejection sampling

In this section we introduce the fundamental idea that all rejection algorithms are based on. We start by presenting the basic algorithm which forms the prototype of the methods presented later.
Algorithm 1.19 (basic rejection sampling)
input:
a probability density $g$ (the proposal density),
a function $p$ with values in $[0,1]$ (the acceptance probability) randomness used:
$X_{n}$ i.i.d. with density $g$ (the proposals),
$U_{n} \sim \mathcal{U}[0,1]$ i.i.d.

output:
a sequence of i.i.d. random variables with density
The effect of the random variables $U_{n}$ in the algorithm is to randomly decide whether to output or to ignore the value $X_{n}$ : the value $X_{n}$ is output with probability $p\left(X_{n}\right)$, and using the trick from lemma $1.9$ we use the event $\left{U \leq p\left(X_{n}\right)\right}$ to decide whether or not to output the value. In the context of rejection sampling, the random variables $X_{n}$ are called proposals. If the proposal $X_{n}$ is chosen for output, that is if $U_{n} \leq p\left(X_{n}\right)$, we say that $X_{n}$ is accepted, otherwise we say that $X_{n}$ is rejected.

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Envelope rejection sampling

The basic rejection sampling algorithm $1.19$ from the previous section is usually applied by choosing the acceptance probabilities $p$ so that the density $f$ of the output values, given by (1.3), coincides with a given target distribution. The resulting algorithm can be written as in the following.

Algorithm 1.22 (envelope rejection sampling)
input:
a function $f$ with values in $[0, \infty)$ (the non-normalised target density),
a probability density $g$ (the proposal density),
a constant $c>0$ such that $f(x) \leq c g(x)$ for all $x$ randomness used:
$X_{n}$ i.i.d. with density $g$ (the proposals),
$U_{n} \sim \mathcal{U}[0,1]$ i.i.d.
output:
a sequence of i.i.d. random variables with density
$$
\tilde{f}(x)=\frac{1}{Z_{f}} f(x) \quad \text { where } \quad Z_{f}=\int f(x) d x
$$

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Conditional distributions

The conditional distribution $P_{X \mid X \in A}$ corresponds to the remaining randomness in $X$ when we already know that $X \in A$ occurred (see equation (A.4) for details). Sampling from a conditional distribution can be easily done by rejection sampling. The basic result is the following.
Algorithm $1.25$ (rejection sampling for conditional distributions) input:
a set $A$ with $P(X \in A)>0$
randomness used:
a sequence $X_{n}$ of i.i.d. copies of $X$ (the proposals)
output:
a sequence of i.i.d. random variables with distribution $P_{X \mid X \in A}$
1: for $n=1,2,3, \ldots$ do
2: generate $X_{n}$
3: if $X_{n} \in A$ then
4: output $X_{n}$
5: end if
6: end for

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Rejection sampling

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|BASIC REJECTION SAMPLING

在本节中,我们将介绍所有拒绝算法所基于的基本思想。我们首先介绍构成稍后介绍的方法原型的基本算法。
算法 1.19b一种s一世Cr和j和C吨一世○ns一种米p一世一世nG
输入:
概率密度G 吨H和pr○p○s一种一世d和ns一世吨和,
一个函数p与值[0,1] 吨H和一种CC和p吨一种nC和pr○b一种b一世一世一世吨和使用的随机性:
Xn具有密度的独立同分布G 吨H和pr○p○s一种一世s,
ün∼ü[0,1]独立同居

输出:
具有密度的 iid 随机变量序列 随机变量
的影响ün在算法中是随机决定是输出还是忽略该值Xn: 价值Xn是概率输出p(Xn),并使用引理中的技巧1.9我们使用事件\left{U \leq p\left(X_{n}\right)\right}\left{U \leq p\left(X_{n}\right)\right}决定是否输出该值。在拒绝抽样的背景下,随机变量Xn被称为提案。如果提案Xn被选择用于输出,也就是说,如果ün≤p(Xn), 我们说Xn被接受,否则我们说Xn被拒绝。

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|ENVELOPE REJECTION SAMPLING

基本拒绝采样算法1.19通常通过选择接受概率来应用上一节中的p使密度F的输出值,由1.3, 与给定的目标分布一致。生成的算法可以写成如下。

算法 1.22和nv和一世○p和r和j和C吨一世○ns一种米p一世一世nG
输入:
一个函数F与值[0,∞) 吨H和n○n−n○r米一种一世一世s和d吨一种rG和吨d和ns一世吨和,
概率密度G 吨H和pr○p○s一种一世d和ns一世吨和,
一个常数C>0这样F(X)≤CG(X)对所有人X使用的随机性:
Xn具有密度的独立同分布G 吨H和pr○p○s一种一世s,
ün∼ü[0,1]iid
输出:
具有密度的 iid 随机变量序列
F~(X)=1和FF(X) 在哪里 和F=∫F(X)dX

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|CONDITIONAL DISTRIBUTIONS

条件分布磷X∣X∈一种对应于剩余的随机性X当我们已经知道X∈一种发生了s和和和q你一种吨一世○n(一种.4详情)。通过拒绝抽样可以很容易地从条件分布中抽样。基本结果如下。
算法1.25 r和j和C吨一世○ns一种米p一世一世nGF○rC○nd一世吨一世○n一种一世d一世s吨r一世b你吨一世○ns输入:
一组一种和磷(X∈一种)>0
使用的随机性:
一个序列Xn的 iid 副本X 吨H和pr○p○s一种一世s
输出:
具有分布的 iid 随机变量序列磷X∣X∈一种
1:对于n=1,2,3,…做
2:生成Xn
3:如果Xn∈一种然后
4:输出Xn
5: 结束 if
6: 结束 for

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