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# 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|MATH10051 Fill in the missing details

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## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|Fill in the missing details

Fill in the missing details of the derivation of the normalization for Legendre polynomials.
a. Use the integral
$$\int \frac{d x}{a+b x}=\frac{1}{b} \ln (a+b x)+C$$

to show that
$$\int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2}=\frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) .$$
Noting that $1-2 x t+t^2=\left(1+t^2\right)+(-2 t) x$, we need only set $a=1+t^2$ and $b=-2 t$.
\begin{aligned} \int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2} &=-\left.\frac{1}{2 t} \ln \left(1-2 x t+t^2\right)\right|{-1} ^1 \ &=-\frac{1}{2 t} \ln \left(1-2 t+t^2\right)+\frac{1}{2 t} \ln \left(1+2 t+t^2\right) \ &=-\frac{1}{2 t} \ln (1-t)^2+\frac{1}{2 t} \ln (1+t)^2 \ &=\frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \end{aligned} b. Using the series expansion $$\ln (1+x)=\sum{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^n}{n},$$
show that
$$\frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} t^{2 n} .$$
Rewriting the logarithmic term and inserting the series expansion, we have
\begin{aligned} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) &=\frac{1}{t}[\ln (1+t)-\ln (1-t)] \ &=\frac{1}{t}\left[\left(t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\cdots\right)-\left(-t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}-\cdots\right)\right] \ &=\frac{1}{t}\left[2 t+\frac{2}{3} t^3+\frac{2}{5} t^5-\cdots\right] \ &=2+\frac{2}{3} t^2+\frac{2}{5} t^4-\cdots \ &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} t^{2 n} . \end{aligned}

## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|Now, use these results to conﬁﬁrm

c. Now, use these results to confirm that
$$\left|P_n\right|^2=\int_{-1}^1 P_n^2(x) d x=\frac{2}{2 n+1} .$$
In the text, we used the orthogonality of the Legendre polynomials to show that
\begin{aligned} \int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2} &=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} t^{n+m} \int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) d x \ &=\sum_{n=0}^{\infty} t^{2 n} \int_{-1}^1 P_n^2(x) d x . \end{aligned}

Since we now have
$$\int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} t^{2 n},$$
we can see that
$$\int_{-1}^1 P_n^2(x) d x=\frac{2}{2 n+1}, \quad n \geq 0 .$$

## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写 MEASURE THEORY AND FOURIER ANALYSIS代考|FILL IN THE MISSING DETAILS

$$\int \frac{d x}{a+b x}=\frac{1}{b} \ln (a+b x)+C$$

$$\int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2}=\frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) .$$

$$\int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2}=-\frac{1}{2 t} \ln \left(1-2 x t+t^2\right) \mid-1^1 \quad=-\frac{1}{2 t} \ln \left(1-2 t+t^2\right)+\frac{1}{2 t} \ln \left(1+2 t+t^2\right)=-\frac{1}{2 t} \ln (1-t)^2+\frac{1}{2 t} \ln (1+t)^2 \quad \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)$$

$$\ln (1+x)=\sum n=1^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^n}{n},$$

$$\frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} t^{2 n} .$$

$$\frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)=\frac{1}{t}[\ln (1+t)-\ln (1-t)] \quad=\frac{1}{t}\left[\left(t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\cdots\right)-\left(-t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}-\cdots\right)\right]=\frac{1}{t}\left[2 t+\frac{2}{3} t^3+\frac{2}{5} t^5-\cdots\right] \quad t^2+\frac{2}{5}$$

## 数学代写测度论和傅里叶分析代写MEASURE THEORY AND FOURIER ANALYSIS代考|NOW, USE THESE RESULTS TO CONFIFIRMC。

$$\left|P_n\right|^2=\int_{-1}^1 P_n^2(x) d x=\frac{2}{2 n+1} .$$

$$\int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} t^{n+m} \int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) d x \quad=\sum_{n=0}^{\infty} t^{2 n} \int_{-1}^1 P_n^2(x) d x .$$

$$\int_{-1}^1 \frac{d x}{1-2 x t+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} t^{2 n}$$

$$\int_{-1}^1 P_n^2(x) d x=\frac{2}{2 n+1}, \quad n \geq 0 .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。