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计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Bohning’s quadratic bound to the log-sum-exp function
The above likelihood is not conjugate to the Gaussian prior. However, we will now can convert it to a quadratic form. Consider a Taylor series expansion of the log-sum-exp function around $\boldsymbol{\psi}_i \in \mathbb{R}^M$ :
$$
\begin{aligned}
\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\eta}_i\right) & =\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)+\left(\boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\top} \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\boldsymbol{\top}} \mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)\left(\boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{\psi}_i\right) \
\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) & =\exp \left[\boldsymbol{\psi}_i-\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)\right]=\mathcal{S}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) \
\mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) & =\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)\right)-\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\top}
\end{aligned}
$$
where $\boldsymbol{g}$ and $\mathbf{H}$ are the gradient and Hessian of lse, and $\boldsymbol{\psi}_i \in \mathbb{R}^M$, where $M=C-1$ is the number of classes minus 1. An upper bound to lse can be found by replacing the Hessian matrix $\mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)$ with a matrix $\mathbf{A}_i$ such that $\mathbf{A}_i \succeq \mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)$ for all $\psi_i$. [Boh92] showed that this can be achieved if we use the matrix $\mathbf{A}_i=\frac{1}{2}\left[\mathbf{I}_M-\frac{1}{M+1} \mathbf{1}_M \mathbf{1}_M^{\mathrm{T}}\right]$. In the binary case, this becomes $A_i=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$.
Note that $\mathbf{A}_i$ is independent of $\boldsymbol{\psi}_i$; however, we still write it as $\mathbf{A}_i$ (rather than dropping the $i$ subscript), since other bounds that we consider below will have a data-dependent curvature term. The upper bound on lse therefore becomes
$$
\begin{aligned}
\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\eta}_i\right) & \leq \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_i^{\top} \mathbf{A}_i \boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{b}_i^{\top} \boldsymbol{\eta}_i+c_i \
\mathbf{A}_i & =\frac{1}{2}\left[\mathbf{I}_M-\frac{1}{M+1} \mathbf{1}_M \mathbf{1}_M^{\top}\right] \
\boldsymbol{b}_i & =\mathbf{A}_i \boldsymbol{\psi}_i-\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) \
c_i & =\frac{1}{2} \boldsymbol{\psi}_i^{\top} \mathbf{A}_i \boldsymbol{\psi}_i-\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\top} \boldsymbol{\psi}_i+\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)
\end{aligned}
$$
where $\boldsymbol{\psi}_i \in \mathbb{R}^M$ is a vector of variational parameters.
计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Bohning’s bound in the binary case
If we have binary data, then $y_i \in{0,1}, M=1$ and $\eta_i=\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x}_i$ where $\boldsymbol{w} \in \mathbb{R}^D$ is a weight vector (not matrix). In this case, the Bohning bound becomes
$$
\begin{aligned}
\log \left(1+e^\eta\right) & \leq \frac{1}{2} a \eta^2-b \eta+c \
a & =\frac{1}{4} \
b & =a \psi-\left(1+e^{-\psi}\right)^{-1} \
c & =\frac{1}{2} a \psi^2-\left(1+e^{-\psi}\right)^{-1} \psi+\log \left(1+e^\psi\right)
\end{aligned}
$$
It is possible to derive an alternative quadratic bound for this case. as shown in Section 6.5.4.2. This has the following form
$$
\begin{aligned}
\log \left(1+e^\eta\right) & \leq \lambda(\boldsymbol{\psi})\left(\eta^2-\boldsymbol{\psi}^2\right)+\frac{1}{2}(\eta-\boldsymbol{\psi})+\log \left(1+e^{\boldsymbol{\psi}}\right) \
\lambda(\boldsymbol{\psi}) & \triangleq \frac{1}{4 \boldsymbol{\psi}} \tanh (\boldsymbol{\psi} / 2)=\frac{1}{2 \boldsymbol{\psi}}\left[\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\psi})-\frac{1}{2}\right]
\end{aligned}
$$
To facilitate comparison with Bohning’s bound, let us rewrite the JJ bound as a quadratic form as follows
$$
\begin{aligned}
\log \left(1+e^\eta\right) & \leq \frac{1}{2} a(\boldsymbol{\psi}) \eta^2-b(\boldsymbol{\psi}) \eta+c(\boldsymbol{\psi}) \
a(\boldsymbol{\psi}) & =2 \lambda(\boldsymbol{\psi}) \
b(\boldsymbol{\psi}) & =-\frac{1}{2} \
c(\boldsymbol{\psi}) & =-\lambda(\boldsymbol{\psi}) \boldsymbol{\psi}^2-\frac{1}{2} \boldsymbol{\psi}+\log \left(1+e^\psi\right)
\end{aligned}
$$
The JJ bound has an adaptive curvature term, since $a$ depends on $\boldsymbol{\psi}$. In addition, it is tight at two points, as is evident from Figure 15.1(a). By contrast, the Bohning bound is a constant curvature bound, and is only tight at one point, as is evident from Figure 15.1(b). Nevertheless, the Bohning bound is simpler, and somewhat faster to compute, since $\mathbf{V}_N$ is a constant, independent of the variational parameters $\boldsymbol{\Psi}$.
机器学习代写
计算机代写|机器学习代写MACHINE LEARNING代考|BOHNING’S QUADRATIC BOUND TO THE LOG-SUMEXP FUNCTION
上述可能性与高斯先验不共轭。但是，我们现在可以将其转换为二次形式。考虑 log-sum-exp 函数的泰勒级数展开 $\boldsymbol{\psi}_i \in \mathbb{R}^M$ :
$$
\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\eta}_i\right)=\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)+\left(\boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\top} \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\top} \mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)\left(\boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{\psi}_i\right) \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) \quad=\exp \left[\boldsymbol{\psi}_i-\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)\right]=\mathcal{S}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) \mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)=\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)\right)-\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) \boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\top}
$$
在哪里 $\boldsymbol{g}$ 和 $\mathbf{H}$ 是 Ise 的梯度和 Hessian，以及 $\boldsymbol{\psi}_i \in \mathbb{R}^M$ ，在哪里 $M=C-1$ 是类数减 1。可以通过替换 Hessian 矩阵找到 Ise 的上限 $\mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)$ 用矩阵 $\mathbf{A}_i$ 这样 $\mathbf{A}_i \succeq \mathbf{H}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)$ 对所有人 $\psi_i$.
Boh 92
表明如果我们使用矩阵，这是可以实现的 $\mathbf{A}_i=\frac{1}{2}\left[\mathbf{I}_M-\frac{1}{M+1} \mathbf{1}_M \mathbf{1}_M^{\mathrm{T}}\right]$. 在二进制情况下，这变成 $A_i=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$.
注意 $\mathbf{A}_i$ 独立于 $\boldsymbol{\psi}_i$; 然而，我们仍然把它写成 $\mathbf{A}_i$ ratherthandroppingthe\$i\$subscript，因为我们在下面考虑的其他边界将具有与数据相关的曲率项。因此 Ise 的 上限变为
$$
\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\eta}_i\right) \leq \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_i^{\top} \mathbf{A}_i \boldsymbol{\eta}_i-\boldsymbol{b}_i^{\top} \boldsymbol{\eta}_i+c_i \mathbf{A}_i \quad=\frac{1}{2}\left[\mathbf{I}_M-\frac{1}{M+1} \mathbf{1}_M \mathbf{1}_M^{\top}\right] \boldsymbol{b}_i=\mathbf{A}_i \boldsymbol{\psi}_i-\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right) c_i \quad=\frac{1}{2} \boldsymbol{\psi}_i^{\top} \mathbf{A}_i \boldsymbol{\psi}_i-\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)^{\top} \boldsymbol{\psi}_i+\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\psi}_i\right)
$$
在哪里 $\psi_i \in \mathbb{R}^M$ 是变分参数的向量。
计算机代写|机器学习代写MACHINE LEARNING代考|BOHNING’S BOUND IN THE BINARY CASE
如果我们有二进制数据，那么 $y_i \in 0,1, M=1$ 和 $\eta_i=\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x}_i$ 在哪里 $\boldsymbol{w} \in \mathbb{R}^D$ 是权重向量notmatrix. 在这种情况下，博宁界变为
$$
\log \left(1+e^\eta\right) \leq \frac{1}{2} a \eta^2-b \eta+c a \quad=\frac{1}{4} b=a \psi-\left(1+e^{-\psi}\right)^{-1} c \quad=\frac{1}{2} a \psi^2-\left(1+e^{-\psi}\right)^{-1} \psi+\log \left(1+e^\psi\right)
$$
对于这种情况，可以导出替代的二次界。如第 6.5.4.2节所示。这有以下形式
$$
\log \left(1+e^\eta\right) \leq \lambda(\boldsymbol{\psi})\left(\eta^2-\boldsymbol{\psi}^2\right)+\frac{1}{2}(\eta-\boldsymbol{\psi})+\log \left(1+e^\psi\right) \lambda(\psi) \quad \triangleq \frac{1}{4 \boldsymbol{\psi}} \tanh (\boldsymbol{\psi} / 2)=\frac{1}{2 \boldsymbol{\psi}}\left[\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\psi})-\frac{1}{2}\right]
$$
为了便于与 Bohning 界进行比较，让我们将 J」界重写为二次形式如下
$$
\log \left(1+e^\eta\right) \leq \frac{1}{2} a(\boldsymbol{\psi}) \eta^2-b(\boldsymbol{\psi}) \eta+c(\boldsymbol{\psi}) a(\boldsymbol{\psi}) \quad=2 \lambda(\boldsymbol{\psi}) b(\boldsymbol{\psi})=-\frac{1}{2} c(\boldsymbol{\psi}) \quad=-\lambda(\boldsymbol{\psi}) \boldsymbol{\psi}^2-\frac{1}{2} \boldsymbol{\psi}+\log \left(1+e^\psi\right)
$$
$J J$ 界有一个自适应曲率项，因为 $a$ 取决于 $\boldsymbol{\psi}$. 此外，它在两个点上很紧，如图 $15.1$ 所示 $a$. 相比之下，博宁界是一个常曲率界，并且仅在一点紧，如图 15.1 所示 $b$. 然 而，博宁界更简单，计算起来也更快，因为 $\mathbf{V}_N$ 是一个常数，与变分参数无关 $\Psi$.
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
