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金融计量经济学Financial Econometrics的一个基本工具是多元线性回归模型。计量经济学理论使用统计理论和数理统计来评估和发展计量经济学方法。计量经济学家试图找到具有理想统计特性的估计器，包括无偏性、效率和一致性。应用计量经济学使用理论计量经济学和现实世界的数据来评估经济理论，开发计量经济学模型，分析经济历史和预测。
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经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Gauss-Markov Theorem
Consider the class of estimators of $\beta$ which are linear functions of the vector $\boldsymbol{Y}$ and thus can be written as $\widetilde{\beta}=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{Y}$ where $\boldsymbol{A}$ is an $n \times k$ function of $\boldsymbol{X}$. As noted before, the least squares estimator is the special case obtained by setting $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$. What is the best choice of $\boldsymbol{A}$ ? The Gauss-Markov theorem ${ }^1$ which we now present says that the least squares estimator is the best choice among linear unbiased estimators when the errors are homoskedastic, in the sense that the least squares estimator has the smallest variance among all unbiased linear estimators.
To see this, since $\mathbb{E}[\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}]=\boldsymbol{X} \beta$ then for any linear estimator $\widetilde{\beta}=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{Y}$ we have
$$
\mathbb{E}[\widetilde{\beta} \mid X]=A^{\prime} \mathbb{E}[\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}]=A^{\prime} \boldsymbol{X} \beta
$$
so $\widetilde{\beta}$ is unbiased if (and only if) $\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{I}_k$. Furthermore, we saw in (4.9) that
$$
\operatorname{var}[\tilde{\boldsymbol{\beta}} \mid \boldsymbol{X}]=\operatorname{var}\left[\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}\right]=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{D} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A} \sigma^2
$$
the last equality using the homoskedasticity assumption $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{I}_n \sigma^2$. The “best” unbiased linear estimator is obtained by finding the matrix $A_0$ satisfying $A_0^{\prime} \boldsymbol{X}=I_k$ such that $A_0^{\prime} A_0$ is minimized in the positive definite sense, which means that for any other matrix $\boldsymbol{A}$ satisfying $\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{I}_k$ then $\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}_0^{\prime} \boldsymbol{A}_0$ is positive semi-definite.
经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Modern Gauss-Markov Theorem
In this section we establish an improved version of the Gauss-Markov Theorem. What is important about this result is that it removes the restriction to linear estimators.
Theorem 4.5 Modern Gauss-Markov
In the linear regression model with i.i.d. sampling, if $\mathbb{E}[\widetilde{\beta} \mid \boldsymbol{X}]=\beta$ and Assumption 4.3 holds then $\operatorname{var}[\widetilde{\boldsymbol{\beta}} \mid \boldsymbol{X}] \geq \sigma^2\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$.
The proof of Theorem 4.5 is technically advanced so we leave it to Section 4.26. It is a generalization of Theorem 11.1 from Introduction to Econometrics for the best unbiased estimation of the mean. Theorem 4.5 is different from both classical Gauss-Markov and Cramér-Rao efficiency results in that it does not restrict attention to linear estimators (as in the Gauss-Markov Theorem) nor restrict sampling to normal variables (as in the Cramér-Rao Theorem). Theorem 4.7 dominates both these classical results as the latter hold as special cases.
The interpretation of Theorem 4.5 is similar to Theorem 4.4. Theorem 4.5 shows that the covariance matrix $\sigma^2\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$ is the best possible among all unbiased estimators.
Take the linear regression model in matrix format
$$
Y=X \beta+e
$$
Consider ageneralized situation where the observation errors are possibly correlated and/or heteroskedastic. Specifically, suppose that
$$
\begin{gathered}
\mathbb{E}[\boldsymbol{e} \mid \boldsymbol{X}]=0 \
\operatorname{var}[\boldsymbol{e} \mid \boldsymbol{X}]=\Omega
\end{gathered}
$$
for some $n \times n$ covariance matrix $\Omega$, possibly a function of $\boldsymbol{X}$. This includes the i.i.d. sampling framework where $\Omega=\boldsymbol{D}$ as defined in (4.8) but allows for non-diagonal covariance matrices as well. As a covariance matrix, $\Omega$ is necessarily symmetric and positive semi-definite.
Under these assumptions, by arguments similar to the previous sectiond we can calculate the mean and variance of the OLS estimator:
$$
\begin{aligned}
& \mathbb{E}[\widehat{\beta} \mid \boldsymbol{X}]=\beta \
& \operatorname{var}[\widehat{\beta} \mid \boldsymbol{X}]=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \Omega \boldsymbol{X}\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \
&
\end{aligned}
$$
(see Exercise 4.5).
计量经济学代写
经济代写|计量经济学代写INTRODUCTION TO ECONOMETRICS代考|GAUSS-MARKOV THEOREM
考虑估计量的类别 $\beta$ 这是向量的线性函数 $\boldsymbol{Y}$ 因此可以写成 $\tilde{\beta}=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{Y}$ 在哪里 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n \times k$ 的功能 $\boldsymbol{X}$. 如前所述，最小二乘估计量是通过设置获得的 特例 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$. 什么是最好的选择 $\boldsymbol{A}$ ? 高斯-马尔可夫定理 ${ }^1$ 我们现在提出的是，当误差是同方差时，最小二乘估计量是线性无偏估计量中 的最佳选择，因为最小二乘估计量在所有无偏线性估计量中具有最小的方差。
看到这个，因为 $\mathbb{E}[\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}]=\boldsymbol{X} \beta$ 那么对于任何线性估计器 $\tilde{\beta}=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{Y}$ 我们有
$$
\mathbb{E}[\tilde{\beta} \mid X]=A^{\prime} \mathbb{E}[\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}]=A^{\prime} \boldsymbol{X} \beta
$$
所以 $\tilde{\beta}$ 是无偏的，如果 andonlyif $\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{I}_k$. 此外，我们在 4.9 那
$$
\operatorname{var}[\tilde{\boldsymbol{\beta}} \mid \boldsymbol{X}]=\operatorname{var}\left[\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}\right]=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{D} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A} \sigma^2
$$
使用同方差假设的最后一个等式 $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{I}_n \sigma^2$.“最佳”无偏线性估计器是通过找到矩阵获得的 $A_0$ 令人满意 $A_0^{\prime} \boldsymbol{X}=I_k$ 这样 $A_0^{\prime} A_0$ 在正定意义上被最小 化，这意味着对于任何其他矩阵 $\boldsymbol{A}$ 令人满意 $\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{X}=I_k$ 然后 $\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}_0^{\prime} A_0$ 是半正定的。
经济代写|计量经济学代写INTRODUCTION TO ECONOMETRICS代考|MODERN GAUSS-MARKOV THEOREM
在本节中，我们建立了高斯-马尔可夫定理的改进版本。这个结果的重要之处在于它消除了对线性估计器的限制。 定理 4.5 现代高斯-马尔可夫
在具有 $\mathrm{iid}$ 采样的线性回归模型中，如果 $\mathbb{E}[\tilde{\boldsymbol{\beta}} \mid \boldsymbol{X}]=\beta$ 假设 4.3 成立 $\operatorname{var}[\widetilde{\boldsymbol{\beta}} \mid \boldsymbol{X}] \geq \sigma^2\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$.
定理 4.5 的证明在技术上很先进，因此我们将其留到 4.26 节。它是计量经济学导论中关于均值最佳无偏估计的定理 11.1 的推广。定理 4.5不同于经 典的 Gauss-Markov 和 Cramér-Rao 效率结果，因为它不限制对线性估计的关注asintheGauss – MarkovTheorem也不限制采样到正常变量 asintheCramér – RaoTheorem. 定理 4.7主导了这两个经典结果，因为后者作为特例成立。
定理 4.5 的解释与定理 4.4 类似。定理 4.5 表明协方差矩阵 $\sigma^2\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}$ 是所有无偏估计量中最好的。
采用矩阵形式的线性回归模型
$$
Y=X \beta+e
$$
考虑观察误差可能相关和/或异方差的一般情况。具体来说，假设
$$
\mathbb{E}[\boldsymbol{e} \mid \boldsymbol{X}]=0 \operatorname{var}[\boldsymbol{e} \mid \boldsymbol{X}]=\Omega
$$
对于一些 $n \times n$ 协方差矩阵 $\Omega$, 可能是函数 $\boldsymbol{X}$. 这包括独立同分布抽样框架，其中 $\Omega=\boldsymbol{D}$ 如定义 4.8 但也允许非对角协方差矩阵。作为协方差矩阵， $\Omega$ 必然是对称的和半正定的。
在这些假设下，通过类似于上一节的参数，我们可以计算 OLS 估计量的均值和方差:
$$
\mathbb{E}[\widehat{\beta} \mid \boldsymbol{X}]=\beta \quad \operatorname{var}[\widehat{\beta} \mid \boldsymbol{X}]=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \Omega \boldsymbol{X}\right)\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}
$$
seeExercise4.5.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
