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数学分析Mathematical Analysis MTH131LR这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。
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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Quotient Spaces
Let $V$ be a subspace of a vector space $U$. Define a relation $R$ on $U$ by $x R y$ if $x-y \in V$. It is easy to verify that $R$ is an equivalence relation. The equivalence classes of $R$ are subsets of $U$ of the form $x+V={x+v: v \in V}$. Such a set is called a coset of $V$.
For example, let $U=\mathbb{R}^2$ and let $V$ be a one-dimensional subspace of $U$. Then $V$ is a straight line containing the origin, and the cosets of $V$ are lines parallel to $V$.
Definition. The quotient space $U / V$ (read $U$ modulo $V$ ) consists of the cosets of $V$, endowed with a vector space structure by the operations
$$
\begin{gathered}
(x+V)+(y+V)=(x+y)+V \
\text { and } \
a(x+V)=(a x)+V .
\end{gathered}
$$
The above operations are well defined in the sense that they do not depend on the particular element $x$ chosen to represent the $\operatorname{coset} x+V$. For example, if $x^{\prime}+V=$ $x+V$ and $y^{\prime}+V=y+V$, then $x^{\prime}-x \in V, y^{\prime}-y \in V$, and $\left(x^{\prime}+y^{\prime}\right)-(x+y) \in V$; hence $\left(x^{\prime}+y^{\prime}\right)+V=(x+y)+V$. For brevity of notation, the coset $x+V$ will be denoted by $\bar{x}$.
Definition. Let $V$ be a subspace of a vector space $U$. The function $\pi: U \rightarrow U / V$, defined by $\pi(x)=\bar{x}$, is called the quotient map. It is easy to verify that $\pi$ is linear.
Theorem 3.4.7. Let $T: U \rightarrow W$ be linear, and let $V=\operatorname{Ker}(T)$. Then $U / V$ is isomorphic to $\Re(T)$ via the isomorphism $\bar{T}(\bar{x})=T(x)$.
Proof. We leave it to the reader to verify that $\bar{T}$ is well defined. Clearly, $\bar{T}$ is onto. We verify the linearity of $\bar{T}$ :
$$
\bar{T}(a \bar{x}+b \bar{y})=\bar{T}(\overline{a x+b y})=T(a x+b y)=a T(x)+b T(y)=a \bar{T}(\bar{x})+b \bar{T}(\bar{y})
$$
To show that $T$ is one-to-one, suppose $\bar{T}(\bar{x})=0$. Therefore $T(x)=0$, and $x \in \operatorname{Ker}(T)=V$; hence $\bar{x}=0$.
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Direct Sums
Definition. Let $U_1$ and $U_2$ be subspaces of a vector space $U$. The sum of $U_1$ and $U_2$ is the set $U_1+U_2=\left{x+y: x \in U_1, y \in U_2\right}$. It is clear that $U_1+U_2$ is a subspace of $U$.
Example 8. Let $U=\mathbb{R}^3$, and let $U_1$ and $U_2$ be distinct lines containing the origin. Then the subspace $U_1+U_2$ is the plane that contains $U_1$ and $U_2$.
Theorem 3.4.8. $U_1+U_2=\operatorname{Span}\left(U_1 \cup U_2\right)$.
Definition. A vector space $U$ is the direct sum of two subspaces $U_1$ and $U_2$ if $U_1+U_2=U$, and $U_1 \cap U_2={0}$. In this case, we write $U=U_1 \oplus U_2$ and say that $U_2$ is an algebraic complement of $U_1$ in $U$.
Example 9. $\mathbb{R}^2=\left{\left(x_1, 0\right): x_1 \in \mathbb{R}\right} \oplus\left{\left(0, x_2\right): x_2 \in \mathbb{R}\right}$.
Theorem 3.4.9. Let $U_1$ and $U_2$ be subspaces of a vector space $U$. Then $U=U_1 \oplus U_2$ if and only if every vector $u \in U$ can be written uniquely as $u=u_1+u_2$, where $u_1 \in U_1, u_2 \in U_2$
Proof. Such a representation of $u$ is guaranteed by the definition of a direct sum. To prove the uniqueness, suppose $u_1+u_2=v_1+v_2$, where $u_1, v_1 \in U_1$ and $u_2, v_2 \in$ $U_2$. Then $u_1-v_1=v_2-u_2 \in U_1 \cap U_2={0}$, so $u_1-v_1=v_2-u_2=0$ and $u_1=v_1$ and $u_2=v_2$. The converse is straightforward.
Example 10. Let $c$ be the space of all convergent sequences, and let $c_0$ be the space of all sequences that converge to 0 . We show that $c=c_0 \oplus \operatorname{Span}({e})$, where $e=(1,1,1, \ldots)$. Let $x=\left(x_1, x_2, \ldots\right)$ be a convergent sequence, and let
$\xi=\lim _n x_n$. Define $y=\left(x_1-\xi, x_2-\xi, x_3-\xi, \ldots\right)$, and let $z=\xi e=(\xi, \xi, \xi, \ldots)$. Clearly, $y$ converges to 0 (i.e., $y \in c_0$ ), and $x=y+z$. The representation of $x=y+z$ is unique because the only constant sequence that converges to 0 is the zero sequence.
Theorem 3.4.10. Every subspace $U_1$ of a vector space $U$ has a complement in $U$.
Proof. We need to show that there is a subspace $U_2$ of $U$ such that $U=U_1 \oplus U_2$. Let $S_1$ be a basis for $U_1$. Augment $S_1$ to a basis $S$ of $U$, and let $S_2=S-S_1$. If $U_2=$ $\operatorname{Span}\left(S_2\right)$, then $U=U_1 \oplus U_2$. We leave it to the reader to write out the details.
Definition. Let $U=U_1 \oplus U_2$. The projection $\pi_1: U \rightarrow U_1$ is the linear mapping $\pi_1(u)=u_1$, where $u=u_1+u_2$, and is the unique representation of $u$ provided by theorem 3.4.9. The projection $\pi_2$ onto $U_2$ is defined similarly. Some of the properties of projections are explored in the section exercises.
Example 11. $\mathbb{R}^2=\left{\left(x_1, 0\right): x_1 \in \mathbb{R}\right} \oplus\left{\left(0, x_2\right): x_2 \in \mathbb{R}\right}$. The projection $\pi_1$ projects $\mathbb{R}^2$ onto the $x_1$-axis in the sense of elementary geometry.
Theorem 3.4.11. Let $U=U_1 \oplus U_2$. Then $\operatorname{Ker}\left(\pi_1\right)=U_2$, and $U / U_2$ is isomorphic to $U_1$.
Proof. To verify that $\operatorname{Ker}\left(\pi_1\right)=U_2$, let $x=u_1+u_2$, where $u_1 \in U_1, u_2 \in U_2$. $\pi_1(x)=0$ if and only if $u_1=0$, if and only if $x=u_2 \in U_2$. The fact that $U / U_2$ is isomorphic to $U_1$ follows from theorem 3.4.7.
数学分析代写
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Quotient Spaces
设$V$是向量空间$U$的一个子空间。在$U$上通过$x R y$如果$x-y \in V$定义一个关系$R$。很容易验证$R$是一个等价关系。$R$的等价类是形式为$x+V={x+v: v \in V}$的$U$的子集。这样的集合称为$V$的协集。
例如，设$U=\mathbb{R}^2$和$V$是$U$的一维子空间。那么$V$是一条包含原点的直线，$V$的余集是平行于$V$的直线。
定义。商空间$U / V$(阅读$U$ modulo $V$)由$V$的余集组成，通过运算赋予其向量空间结构
$$
\begin{gathered}
(x+V)+(y+V)=(x+y)+V \
\text { and } \
a(x+V)=(a x)+V .
\end{gathered}
$$
上述操作定义良好，因为它们不依赖于选择来表示$\operatorname{coset} x+V$的特定元素$x$。例如，如果$x^{\prime}+V=$$x+V$和$y^{\prime}+V=y+V$，那么$x^{\prime}-x \in V, y^{\prime}-y \in V$和$\left(x^{\prime}+y^{\prime}\right)-(x+y) \in V$;因此，$\left(x^{\prime}+y^{\prime}\right)+V=(x+y)+V$。为简便起见，将用$\bar{x}$表示协集$x+V$。
定义。设$V$是向量空间$U$的一个子空间。由$\pi(x)=\bar{x}$定义的函数$\pi: U \rightarrow U / V$称为商映射。很容易验证$\pi$是线性的。
定理3.4.7。设$T: U \rightarrow W$是线性的，设$V=\operatorname{Ker}(T)$。然后$U / V$通过同构$\bar{T}(\bar{x})=T(x)$与$\Re(T)$同构。
证明。我们留给读者去验证$\bar{T}$是否定义良好。显然，$\bar{T}$是对的。我们验证$\bar{T}$的线性:
$$
\bar{T}(a \bar{x}+b \bar{y})=\bar{T}(\overline{a x+b y})=T(a x+b y)=a T(x)+b T(y)=a \bar{T}(\bar{x})+b \bar{T}(\bar{y})
$$
为了证明$T$是一对一的，假设$\bar{T}(\bar{x})=0$。因此$T(x)=0$和$x \in \operatorname{Ker}(T)=V$;因此，$\bar{x}=0$。
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Direct Sums
定义。设$U_1$和$U_2$是向量空间$U$的子空间。$U_1$和$U_2$的和是集合$U_1+U_2=\left{x+y: x \in U_1, y \in U_2\right}$。很明显，$U_1+U_2$是$U$的一个子空间。
例8。设$U=\mathbb{R}^3$, $U_1$和$U_2$是包含原点的不同直线。那么子空间$U_1+U_2$就是包含$U_1$和$U_2$的平面。
定理3.4.8。$U_1+U_2=\operatorname{Span}\left(U_1 \cup U_2\right)$。
定义。向量空间$U$是两个子空间$U_1$和$U_2$的直接和，如果$U_1+U_2=U$和$U_1 \cap U_2={0}$。在这种情况下，我们写$U=U_1 \oplus U_2$，并说$U_2$是$U$中$U_1$的代数补。
例9。$\mathbb{R}^2=\left{\left(x_1, 0\right): x_1 \in \mathbb{R}\right} \oplus\left{\left(0, x_2\right): x_2 \in \mathbb{R}\right}$。
定理3.4.9。设$U_1$和$U_2$是向量空间$U$的子空间。那么$U=U_1 \oplus U_2$当且仅当每个向量$u \in U$可以唯一地写成$u=u_1+u_2$，其中$u_1 \in U_1, u_2 \in U_2$
证明。直接和的定义保证了$u$的这种表示。为了证明唯一性，假设$u_1+u_2=v_1+v_2$，其中$u_1, v_1 \in U_1$和$u_2, v_2 \in$$U_2$。然后是$u_1-v_1=v_2-u_2 \in U_1 \cap U_2={0}$$u_1-v_1=v_2-u_2=0$$u_1=v_1$$u_2=v_2$。相反的情况很简单。
例10。设$c$为所有收敛序列的空间，设$c_0$为所有收敛于0的序列的空间。我们显示$c=c_0 \oplus \operatorname{Span}({e})$，其中$e=(1,1,1, \ldots)$。设$x=\left(x_1, x_2, \ldots\right)$是一个收敛序列，设
$\xi=\lim _n x_n$。定义$y=\left(x_1-\xi, x_2-\xi, x_3-\xi, \ldots\right)$，让$z=\xi e=(\xi, \xi, \xi, \ldots)$。显然，$y$收敛于0(即$y \in c_0$)和$x=y+z$。$x=y+z$的表示是唯一的，因为唯一收敛于0的常数序列是零序列。
定理3.4.10。向量空间$U$的每一个子空间$U_1$在$U$中都有一个补。
证明。我们需要证明$U$的一个子空间$U_2$使得$U=U_1 \oplus U_2$。让$S_1$成为$U_1$的基础。将$S_1$扩充为$U$的一个基$S$，让$S_2=S-S_1$。如果$U_2=$$\operatorname{Span}\left(S_2\right)$，那么$U=U_1 \oplus U_2$。我们把细节留给读者去写。
定义。让$U=U_1 \oplus U_2$。投影$\pi_1: U \rightarrow U_1$是线性映射$\pi_1(u)=u_1$，其中$u=u_1+u_2$，是定理3.4.9提供的$u$的唯一表示。$\pi_2$到$U_2$的投影的定义与此类似。投影的一些性质将在部分练习中探讨。
例11。$\mathbb{R}^2=\left{\left(x_1, 0\right): x_1 \in \mathbb{R}\right} \oplus\left{\left(0, x_2\right): x_2 \in \mathbb{R}\right}$。在初等几何的意义上，投影$\pi_1$将$\mathbb{R}^2$投影到$x_1$ -轴上。
定理3.4.11。让$U=U_1 \oplus U_2$。然后是$\operatorname{Ker}\left(\pi_1\right)=U_2$, $U / U_2$和$U_1$是同构的。
证明。为了验证$\operatorname{Ker}\left(\pi_1\right)=U_2$，让$x=u_1+u_2$，其中$u_1 \in U_1, u_2 \in U_2$。$\pi_1(x)=0$当且仅当$u_1=0$，当且仅当$x=u_2 \in U_2$。$U / U_2$与$U_1$同构的事实是由定理3.4.7推导出来的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
