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实分析Real Analysis是数学中的一个领域，主要研究实数、序列和函数的性质。这个数学分支包括极限和收敛的概念，微积分和函数的性质，如连续性。它还包括测量理论。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Homogeneous Equations with Constant Coefficients
In this section and the next, we discuss first-order homogeneous linear systems with constant coefficients. The system is of the form $y^{\prime}=A y$ with $A$ a matrix of constants. A single homogeneous $n^{\text {th }}$-order linear equation with constant coefficients can be converted into such a first-order system and can therefore be handled by the method applicable to all first-order homogeneous linear systems with constant coefficients. But such an equation can be handled more simply in a direct fashion, and we therefore isolate in this section the case of a single $n^{\text {th }}$-order equation. This section and the next will make use of material on polynomials from Section A8 of the appendix.
The equation to be studied in this section is of the form
$$
y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=0
$$
with coefficients in $\mathbb{C}$. Let us write this equation as $L(y)=0$ for a suitable linear operator $L$ defined on functions $y$ of class $C^n$ :
$$
L=\left(\frac{d}{d t}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{d}{d t}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{d}{d t}\right)+a_0 .
$$
The term $a_0$ is understood to act as $a_0$ times the identity operator. Since $\frac{d}{d t} e^{r t}=$ $r e^{r t}$, we immediately obtain
$$
L\left(e^{r t}\right)=\left(r^n+a_{n-1} r^{n-1}+\cdots+a_1 r+a_0\right) e^{r t} .
$$
The polynomial
$$
P(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_1 \lambda+a_0
$$
is called the characteristic polynomial of the equation, and the formula $L\left(e^{r t}\right)=$ $P(r) e^{r t}$ shows that $y(t)=e^{r t}$ is a solution of $L(y)=0$ if and only if $r$ is a root of the characteristic polynomial. From Section A8 of the appendix, we know that the polynomial $P(\lambda)$ factors into the product of linear factors $\lambda-r$, the factors being unique apart from their order. Let us list the distinct roots, i.e., the distinct such complex numbers $r$, as $r_1, \ldots, r_k$ with $k \leq n$, and let us write $m_j$ for the number of times that $\lambda-r_j$ occurs as a factor of $P(\lambda)$, i.e., the multiplicity of $r_j$ as a root of $P$. Then we have $\sum_{j=1}^k m_j=n$ and
$$
P(\lambda)=\prod_{j=1}^k\left(\lambda-r_j\right)^{m_j} .
$$
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Homogeneous Systems with Constant Coefficients
Having discussed linear homogeneous equations with constant coefficients, let us pass to the more general case of first-order homogeneous linear systems with constant coefficients. We write the system as $y^{\prime}=A y$ with $A$ an $n$-by- $n$ matrix of constants. In principle we can solve the system immediately. Namely, Proposition $3.13 \mathrm{c}$ tells us that $\frac{d}{d t}\left(e^{t A}\right)=A e^{t A}$, so that each of the $n$ columns of $e^{t A}$ is a solution of $y^{\prime}=A y$. At $t=0, e^{t A}$ reduces to the identity matrix, and thus these $n$ solutions are linearly independent at $t=0$. By Theorem 4.6 these $n$ solutions form a basis of all solutions on any subinterval $(a, b)$ of $(-\infty,+\infty)$. The solution satisfying the initial condition $y\left(t_0\right)=y_0$ is $y(t)=e^{t A} e^{-t_0 A} y_0$, which is the particular linear combination $\sum_{j=1}^n c_j e^{t A} e_j$ of the columns of $e^{t A}$ in which $c_j$ is the number $c_j=\left(e^{-t_0 A} y_0\right)_j$.
In practice it is not so obvious how to compute $e^{t A}$ except in special cases in which the exponential series can be summed entry by entry. Let us write down three model cases of this kind, and ultimately we shall see that we can handle general $A$ by working suitably with these cases.
MODEL CASES.
(1) Let
$$
C=\left(\begin{array}{ccccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \
& & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \
& & & & 0 & 1 & 0 \
& & & & & 0 & 1 \
& & & & & & 0
\end{array}\right)
$$
be of size $m$-by- $m$ with 0 ‘s below the main diagonal. Raising $C$ to powers, we see that the $(i, j)^{\text {th }}$ entry of $A^k$ is 1 if $j=i+k$ and is 0 otherwise. Hence
$$
e^{t C}=\left(\begin{array}{ccccccc}
0 & t & \frac{1}{2 !} t^2 & \frac{1}{3 !} t^3 & \cdots & \frac{1}{(m-2) !} t^{m-2} & \frac{1}{(m-1) !} t^{m-1} \
& 0 & t & \frac{1}{2 !} t^2 & \cdots & \frac{1}{(m-3) !} t^{m-3} & \frac{1}{(m-2) !} t^{m-2} \
& & 0 & t & \cdots & \vdots & \frac{1}{(m-3) !} t^{m-3} \
& & & \ddots & \ddots & & \vdots \
& & & 0 & t & \frac{1}{2 !} t^2 \
& & & & 0 & t \
& & & & & & 0
\end{array}\right)
$$
with 0 ‘s below the main diagonal.
(2) Let
$$
A=\left(\begin{array}{ccccccc}
a & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& & a & 1 & \cdots & 0 & 0 \
& & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \
& & & & a & 1 & 0 \
& & & & & a & 1 \
& & & & & & a
\end{array}\right),
$$
实分析代写
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Homogeneous Equations with Constant Coefficients
在本节和下一节中，我们讨论常系数一阶齐次线性系统。系统的形式为$y^{\prime}=A y$，其中$A$是一个常数矩阵。一个单一的常系数齐次$n^{\text {th }}$ -阶线性方程可以转换成这样一个一阶系统，因此可以用适用于所有常系数一阶齐次线性系统的方法来处理。但是这样的方程可以用一种更简单的直接方式来处理，因此我们在本节中分离出单个$n^{\text {th }}$ -阶方程的情况。本节和下一节将使用附录A8节中关于多项式的材料。
本节要研究的方程为
$$
y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y^{\prime}+a_0 y=0
$$
系数在$\mathbb{C}$。对于定义在类$C^n$的函数$y$上的合适的线性算子$L$，我们把这个方程写成$L(y)=0$:
$$
L=\left(\frac{d}{d t}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{d}{d t}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{d}{d t}\right)+a_0 .
$$
术语$a_0$可以理解为$a_0$乘以单位运算符。由于$\frac{d}{d t} e^{r t}=$$r e^{r t}$，我们立即获得
$$
L\left(e^{r t}\right)=\left(r^n+a_{n-1} r^{n-1}+\cdots+a_1 r+a_0\right) e^{r t} .
$$
多项式
$$
P(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_1 \lambda+a_0
$$
称为方程的特征多项式，公式$L\left(e^{r t}\right)=$$P(r) e^{r t}$表明，当且仅当$r$是特征多项式的根时，$y(t)=e^{r t}$是$L(y)=0$的解。从附录的A8部分，我们知道多项式$P(\lambda)$因子是线性因子$\lambda-r$的乘积，除了它们的顺序之外，因子是唯一的。让我们列出不同的根，即不同的这样的复数$r$，如$r_1, \ldots, r_k$和$k \leq n$，让我们把$m_j$写成$\lambda-r_j$作为$P(\lambda)$的一个因子出现的次数，即$r_j$作为$P$的一个根的倍数。然后是$\sum_{j=1}^k m_j=n$和
$$
P(\lambda)=\prod_{j=1}^k\left(\lambda-r_j\right)^{m_j} .
$$
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Homogeneous Systems with Constant Coefficients
讨论了常系数线性齐次方程之后，让我们转到更一般的一阶常系数齐次线性系统的情况。我们把系统写成$y^{\prime}=A y$和$A$一个$n$ × $n$的常数矩阵。原则上我们可以立即解出这个方程组。也就是说，命题$3.13 \mathrm{c}$告诉我们$\frac{d}{d t}\left(e^{t A}\right)=A e^{t A}$，所以$e^{t A}$的每一列$n$都是$y^{\prime}=A y$的一个解。在$t=0, e^{t A}$化简为单位矩阵，因此这些$n$解在$t=0$是线性无关的。根据定理4.6，这些$n$解构成了$(-\infty,+\infty)$的任意子区间$(a, b)$上所有解的基。满足初始条件$y\left(t_0\right)=y_0$的解为$y(t)=e^{t A} e^{-t_0 A} y_0$，它是$e^{t A}$的列的特定线性组合$\sum_{j=1}^n c_j e^{t A} e_j$，其中$c_j$为数字$c_j=\left(e^{-t_0 A} y_0\right)_j$。
在实践中，如何计算$e^{t A}$并不那么明显，除非在指数级数可以逐项求和的特殊情况下。让我们写下这类的三个典型案例，最终我们将看到，通过适当地处理这些案例，我们可以处理一般的$A$。
模型案例。
(1)让
$$
C=\left(\begin{array}{ccccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \
& & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \
& & & & 0 & 1 & 0 \
& & & & & 0 & 1 \
& & & & & & 0
\end{array}\right)
$$
尺寸为$m$ -by- $m$，主对角线下方为0。将$C$取幂，我们看到$A^k$的$(i, j)^{\text {th }}$项如果$j=i+k$为1，否则为0。因此
$$
e^{t C}=\left(\begin{array}{ccccccc}
0 & t & \frac{1}{2 !} t^2 & \frac{1}{3 !} t^3 & \cdots & \frac{1}{(m-2) !} t^{m-2} & \frac{1}{(m-1) !} t^{m-1} \
& 0 & t & \frac{1}{2 !} t^2 & \cdots & \frac{1}{(m-3) !} t^{m-3} & \frac{1}{(m-2) !} t^{m-2} \
& & 0 & t & \cdots & \vdots & \frac{1}{(m-3) !} t^{m-3} \
& & & \ddots & \ddots & & \vdots \
& & & 0 & t & \frac{1}{2 !} t^2 \
& & & & 0 & t \
& & & & & & 0
\end{array}\right)
$$
主对角线下面都是0。
(2)让
$$
A=\left(\begin{array}{ccccccc}
a & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
& & a & 1 & \cdots & 0 & 0 \
& & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \
& & & & a & 1 & 0 \
& & & & & a & 1 \
& & & & & & a
\end{array}\right),
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
