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傅里叶分析Fourier Analysis傅里叶变换是傅里叶分析的基础，就像骨髓对人的骨头一样。它是所有振荡积分之父，也是将函数从空间域转移到频率域的强大变换。通过这样做，它颠倒了函数的本地化属性。然后，神奇的是，如果再应用一次，它会返回由反射组成的函数。更重要的是，它改变了我们对谐波分析的观点。它把卷积变成乘法，把平移变成调制，把膨胀膨胀变成收缩膨胀，而它在无穷远处的衰减编码了关于函数局部平滑的信息。
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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Introduction of the Spherical Maximal Function
We denote throughout this section by $d \sigma$ the normalized Lebesgue measure on the sphere $\mathbf{S}^{n-1}$. For $f$ in $L^p\left(\mathbf{R}^n\right), 1 \leq p \leq \infty$, we define the maximal operator
$$
\mathscr{M}(f)(x)=\sup {t>0}\left|\int{\mathbf{S}^{n-1}} f(x-t \theta) d \sigma(\theta)\right|
$$
and we observe that by Minkowski’s integral inequality each expression inside the supremum in (5.5.1) is well defined for $f \in L^p$ for almost all $x \in \mathbf{R}^n$. The operator $\mathscr{M}$ is called the spherical maximal function. It is unclear at this point for which functions $f$ we have $\mathscr{M}(f)<\infty$ a.e. and for which values of $p<\infty$ the maximal inequality
$$
|\mathscr{M}(f)|_{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)} \leq C_p|f|_{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)}
$$
holds for all functions $f \in L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$.
Spherical averages often make their appearance as solutions of partial differential equations. For instance, the spherical average
$$
u(x, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{S}^2} t f(x-t y) d \sigma(y)
$$
is a solution of the wave equation
$$
\begin{aligned}
\Delta_x(u)(x, t) & =\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t), \
u(x, 0) & =0, \
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) & =f(x),
\end{aligned}
$$
in $\mathbf{R}^3$. The introduction of the spherical maximal function is motivated by the fact that the related spherical average
$$
u(x, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{S}^2} f(x-t y) d \sigma(y)
$$
solves Darboux’s equation
$$
\begin{aligned}
\Delta_x(u)(x, t) & =\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)+\frac{2}{t} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t), \
u(x, 0) & =f(x), \
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) & =0,
\end{aligned}
$$
in $\mathbf{R}^3$. It is rather remarkable that the Fourier transform can be used to study almost everywhere convergence for several kinds of maximal averaging operators such as the spherical averages in (5.5.4). This is achieved via the boundedness of the corresponding maximal operator; the maximal operator controlling the averages over $\mathbf{S}^{n-1}$ is given in (5.5.1).
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|The First Key Lemma
We have the following lemma:
Lemma 5.5.2. There is a constant $C=C(n)<\infty$ such that for any $j \geq 1$ we have the estimate
$$
\left|\mathscr{M}j(f)\right|{L^2} \leq C 2^{\left(\frac{1}{2}-\frac{n-1}{2}\right) j}|f|_{L^2}
$$
for all functions $f$ in $L^2\left(\mathbf{R}^n\right)$.
Proof. We define a function
$$
\widetilde{m}j(\xi)=\xi \cdot \nabla m_j(\xi) $$ we let $\tilde{A}{j, t}(f)(x)=\left(\widehat{f}(\xi) \tilde{m}j(t \xi)\right)^{\vee}(x)$, and we let $$ \widetilde{G}_j(f)(x)=\left(\int_0^{\infty}\left|\widetilde{A}{j, t}(f)(x)\right|^2 \frac{d t}{t}\right)^{\frac{1}{2}}
$$
be the associated $g$-function. For $f \in L^2\left(\mathbf{R}^n\right)$, the identity
$$
s \frac{d A_{j, s}}{d s}(f)=\tilde{A}{j, s}(f) $$ is clearly valid for all $j$ and $s$. Since $A{j, s}(f)=f *\left(m_j^{\vee}\right)s$ and $m_j^{\vee}$ has integral zero for $j \geq 1$ (here $\left(m_j^{\vee}\right)_s(x)=s^{-n} m_j^{\vee}\left(s^{-1} x\right)$ ), it follows from Corollary 2.1.19 that $$ \lim {s \rightarrow 0} A_{j, s}(f)(x)=0
$$
for all $x \in \mathbf{R}^n \backslash E$, where $E$ is some set of Lebesgue measure zero. By the fundamental theorem of calculus for $x \in \mathbf{R}^n \backslash E$ we deduce that
$$
\begin{aligned}
\left(A_{j, t}(f)(x)\right)^2 & =\int_0^t \frac{d}{d s}\left(A_{j, s}(f)(x)\right)^2 d s \
& =2 \int_0^t A_{j, s}(f)(x) s \frac{d A_{j, s}}{d s}(f)(x) \frac{d s}{s} \
& =2 \int_0^t A_{j, s}(f)(x) \tilde{A}{j, s}(f)(x) \frac{d s}{s}, \end{aligned} $$ from which we obtain the estimate $$ \left|A{j, t}(f)(x)\right|^2 \leq 2 \int_0^{\infty}\left|A_{j, s}(f)(x)\right|\left|\tilde{A}_{j, s}(f)(x)\right| \frac{d s}{s} .
$$
傅里叶分析代写
数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Introduction of the Spherical Maximal Function
在本节中，我们用$d \sigma$表示球体$\mathbf{S}^{n-1}$上的归一化勒贝格测度。对于$L^p\left(\mathbf{R}^n\right), 1 \leq p \leq \infty$中的$f$，我们定义了最大运算符
$$
\mathscr{M}(f)(x)=\sup {t>0}\left|\int{\mathbf{S}^{n-1}} f(x-t \theta) d \sigma(\theta)\right|
$$
并且我们观察到，通过Minkowski的积分不等式，(5.5.1)中的上点内的每个表达式对于$f \in L^p$几乎所有$x \in \mathbf{R}^n$都是定义良好的。算子$\mathscr{M}$称为球面极大函数。目前还不清楚哪些函数$f$我们有$\mathscr{M}(f)<\infty$ a.e.，哪些$p<\infty$值是最大的不等式
$$
|\mathscr{M}(f)|{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)} \leq C_p|f|{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)}
$$
适用于所有函数$f \in L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$。
球面平均常作为偏微分方程的解出现。例如，球面平均
$$
u(x, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{S}^2} t f(x-t y) d \sigma(y)
$$
是波动方程的解吗
$$
\begin{aligned}
\Delta_x(u)(x, t) & =\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t), \
u(x, 0) & =0, \
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) & =f(x),
\end{aligned}
$$
在$\mathbf{R}^3$。引入球面极大函数的动机是相关的球面平均值
$$
u(x, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbf{S}^2} f(x-t y) d \sigma(y)
$$
解达布方程
$$
\begin{aligned}
\Delta_x(u)(x, t) & =\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)+\frac{2}{t} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t), \
u(x, 0) & =f(x), \
\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) & =0,
\end{aligned}
$$
在$\mathbf{R}^3$。值得注意的是，傅里叶变换几乎可以用于研究几种极大平均算子(如(5.5.4)中的球面平均算子)的处处收敛性。这是通过相应的极大算子的有界性实现的;控制$\mathbf{S}^{n-1}$平均值的最大算子在(5.5.1)中给出。
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|The First Key Lemma
我们有以下引理:
引理5.5.2。有一个常数$C=C(n)<\infty$，这样对于任何$j \geq 1$我们都有估计
$$
\left|\mathscr{M}j(f)\right|{L^2} \leq C 2^{\left(\frac{1}{2}-\frac{n-1}{2}\right) j}|f|{L^2} $$ 对于$L^2\left(\mathbf{R}^n\right)$中的所有函数$f$。 证明。我们定义一个函数 $$ \widetilde{m}j(\xi)=\xi \cdot \nabla m_j(\xi) $$我们让$\tilde{A}{j, t}(f)(x)=\left(\widehat{f}(\xi) \tilde{m}j(t \xi)\right)^{\vee}(x)$，我们让$$ \widetilde{G}_j(f)(x)=\left(\int_0^{\infty}\left|\widetilde{A}{j, t}(f)(x)\right|^2 \frac{d t}{t}\right)^{\frac{1}{2}} $$ 是关联的$g$ -函数。对于$f \in L^2\left(\mathbf{R}^n\right)$，是恒等式 $$ s \frac{d A{j, s}}{d s}(f)=\tilde{A}{j, s}(f) $$显然对所有$j$和$s$都有效。由于$A{j, s}(f)=f *\left(m_j^{\vee}\right)s$和$m_j^{\vee}$对于$j \geq 1$(这里是$\left(m_j^{\vee}\right)s(x)=s^{-n} m_j^{\vee}\left(s^{-1} x\right)$)的积分为零，因此从推论2.1.19可以得出$$ \lim {s \rightarrow 0} A{j, s}(f)(x)=0
$$
对于所有$x \in \mathbf{R}^n \backslash E$，其中$E$是一组勒贝格测度0。根据$x \in \mathbf{R}^n \backslash E$的微积分基本定理，我们推导出
$$
\begin{aligned}
\left(A_{j, t}(f)(x)\right)^2 & =\int_0^t \frac{d}{d s}\left(A_{j, s}(f)(x)\right)^2 d s \
& =2 \int_0^t A_{j, s}(f)(x) s \frac{d A_{j, s}}{d s}(f)(x) \frac{d s}{s} \
& =2 \int_0^t A_{j, s}(f)(x) \tilde{A}{j, s}(f)(x) \frac{d s}{s}, \end{aligned} $$我们从中得到估计 $$ \left|A{j, t}(f)(x)\right|^2 \leq 2 \int_0^{\infty}\left|A_{j, s}(f)(x)\right|\left|\tilde{A}_{j, s}(f)(x)\right| \frac{d s}{s} .
$$
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微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
