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傅里叶分析Fourier Analysis傅里叶变换是傅里叶分析的基础，就像骨髓对人的骨头一样。它是所有振荡积分之父，也是将函数从空间域转移到频率域的强大变换。通过这样做，它颠倒了函数的本地化属性。然后，神奇的是，如果再应用一次，它会返回由反射组成的函数。更重要的是，它改变了我们对谐波分析的观点。它把卷积变成乘法，把平移变成调制，把膨胀膨胀变成收缩膨胀，而它在无穷远处的衰减编码了关于函数局部平滑的信息。
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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Trivial Discontinuities
The function $f$ has a trivial discontinuity (also called a removable discontinuity) at $x_0$ if the limit of $f(x)$ does exist as $x$ approaches $x_0$ but, for some reason, either this limit does not equal $f\left(x_0\right)$ or $f\left(x_0\right)$ does not even exist according to the definition given for the function. A classic example is the sinc (pronounced “sink”) function on $(-\infty, \infty)$. It is given by the formula $^2$
$$
\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin (x)}{x} .
$$
While this formula is indeterminate at $x=0$, we see that, using L’Hôpital’s rule,
$$
\lim {x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=\lim {x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{d x} \sin (x)}{\frac{d}{d x} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{1}=1 .
$$
But recall our discussion in the previous chapter. As far as we are concerned, the value of a function at a single point is irrelevant, and (re)defining the formula for it at any single point (or any finite number of points on any finite interval) does not change that function. This means we can “remove” the discontinuity in the sinc function by appropriately (re)defining $\operatorname{sinc}(x)$ to be 1 when $x=0$,
$$
\operatorname{sinc}(x)=\left{\begin{array}{cc}
\frac{\sin (x)}{x} & \text { if } \quad x \neq 0 \
1 & \text { if } \quad x=0
\end{array} .\right.
$$
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|Jump Discontinuities
The function $f$ has a jump discontinuity at $x_0$ if the left- and right-hand limits of the function at $x_0$,
$$
\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x) \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x) \quad,
$$
both exist but are not equal (see figure 3.2). The jump in $f$ at $x_0$ is the difference
$$
j_0=\lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x)-\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x) .
$$
Clearly, such a function cannot be made continuous by (re)defining the function at the jump discontinuity. We could, for reasons of aesthetics (again, see figure 3.2), (re)define the value of a function at a jump discontinuity to be the midpoint of the jump,
$$
f\left(x_0\right)=\frac{1}{2}\left[\lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x)+\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x)\right],
$$
but this will not appreciably simplify the mathematics of interest to us. Since this is the case and since we have already agreed that the value of a function at a single point is irrelevant, we will simply not worry about the value of a function at a jump. And if the value of a function is accidentally specified at a jump, we will feel free to ignore that specification.
Example 3.2 (the step function): One of the simplest examples of a function with a jump discontinuity is the unit step function
$$
\operatorname{step}(x)=\left{\begin{array}{ll}
0 & \text { if } x<0 \
1 & \text { if } 0<x
\end{array} .\right.
$$
Note that step $=u=h$ where $u$ and $h$ are the functions from example 2.2. ${ }^3$
傅里叶分析代写
数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Trivial Discontinuities
如果$f(x)$的极限在$x$接近$x_0$时确实存在，那么函数$f$在$x_0$处有一个微不足道的不连续(也称为可移动的不连续)，但是，由于某种原因，这个极限要么不等于$f\left(x_0\right)$，要么根据函数给出的定义$f\left(x_0\right)$甚至不存在。一个经典的例子是$(-\infty, \infty)$上的sinc(发音为“sink”)函数。它由公式$^2$给出
$$
\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin (x)}{x} .
$$
虽然这个公式在$x=0$处是不确定的，但我们可以看到，使用L’Hôpital法则，
$$
\lim {x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=\lim {x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{d x} \sin (x)}{\frac{d}{d x} x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{1}=1 .
$$
但是回想一下我们在前一章的讨论。就我们而言，函数在单点处的值是无关的，并且(重新)定义它在任何单点(或任何有限区间上的任何有限数量的点)的公式不会改变该函数。这意味着我们可以通过适当地(重新)定义$\operatorname{sinc}(x)$为1来“删除”sinc函数中的不连续，当$x=0$，
$$
\operatorname{sinc}(x)=\left{\begin{array}{cc}
\frac{\sin (x)}{x} & \text { if } \quad x \neq 0 \
1 & \text { if } \quad x=0
\end{array} .\right.
$$
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|Jump Discontinuities
函数$f$在$x_0$处有一个跳跃不连续，如果函数在$x_0$处的左右极限，
$$
\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x) \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x) \quad,
$$
两者都存在，但不相等(见图3.2)。不同之处在于$f$在$x_0$的跳跃
$$
j_0=\lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x)-\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x) .
$$
显然，通过(重新)定义跳跃不连续处的函数，不能使这样的函数连续。出于美观的考虑(再次参见图3.2)，我们可以(重新)将跳跃不连续处的函数值定义为跳跃的中点，
$$
f\left(x_0\right)=\frac{1}{2}\left[\lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x)+\lim {x \rightarrow x_0^{-}} f(x)\right],
$$
但这不会明显地简化我们感兴趣的数学。既然是这种情况，既然我们已经同意函数在单个点的值是无关的，我们就不需要担心函数在跳跃处的值。如果在跳转时意外指定了函数的值，我们可以随意忽略该说明。
例3.2(阶跃函数):具有跃变不连续的函数的最简单的例子之一是单位阶跃函数
$$
\operatorname{step}(x)=\left{\begin{array}{ll}
0 & \text { if } x<0 \
1 & \text { if } 0<x
\end{array} .\right.
$$
注意步骤$=u=h$，其中$u$和$h$是示例2.2中的函数。 ${ }^3$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
