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交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Commutative rings and subrings
1.1 Notation. The symbol $\mathbb{Z}$ will always denote the set of integers; in addition, $\mathbb{N}$ (respectively $\mathbb{N}_0$ ) will always denote the set of positive (respectively non-negative) integers. The set of rational (respectively real, complex) numbers will be denoted by the symbol $\mathbb{Q}$ (respectively $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ ).
The symbol $\subseteq$ will stand for ‘is a subset of’; the symbol $\subset$ will be reserved to denote strict inclusion. Thus, for sets $A, B$, the expression $A \subset B$ means that $A \subseteq B$ and $A \neq B$.
The symbol ‘ $\square$ ‘ will be used to denote the end, or absence, of a proof. We shall reserve the symbols
$$
X, Y, X_1, \ldots, X_n
$$
to denote indeterminates.
We shall denote the number of elements in a finite set $\Omega$ by $|\Omega|$.
A comment should perhaps be made about the distinction between a family and a set. We shall often use round parentheses ( ), as in $\left(a_i\right)_{i \in I}$, to denote a family indexed by the set $I$; here $a_i$ should be thought of as situated in the ‘position’ labelled by $i$; and the family $\left(a_i\right){i \in I}$ is considered to be equal to $\left(b_i\right){i \in I}$ if and only if $a_i=b_i$ for all $i \in I$. One can think of a family $\left(a_i\right){i \in I}$, where $a_i$ lies in the set $A$ for all $i \in I$, as a function from $I$ to $A$ : in this interpretation, the image of $i$ under the function is $a_i$. On the other hand, curly braces {} , as in $$ \left{d_1, \ldots, d_n\right} \quad \text { or } \quad{d \in D: \text { statement } P(d) \text { is true }} \text {, } $$ will often be used to indicate sets. A set is completely determined by its members, and no concept of ‘position’ is involved when the members of the set are displayed within braces. The distinction between a family and a set parallels that between a function and its image. To illustrate the distinction, let $d_1=d_2=1$ and $d_3=3$. Then the family $\left(d_i\right){i=1}^3$ can be thought of as the ordered triple $(1,1,3)$, whereas the set $\left{d_1, d_2, d_3\right}$ is just the 2 -element set ${1,1,3}={1,3}$.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Ideals
2.1 Definition and Lemma. Let $R$ and $S$ be commutative rings, and let $f: R \rightarrow S$ be a ring homomorphism. Then we define the kernel of $f$, denoted $\operatorname{Ker} f, b y$
$\operatorname{Ker} f:=\left{r \in R: f(r)=0_S\right}$.
Note that
(i) $0_R \in \operatorname{Ker} f$, so that $\operatorname{Ker} f \neq \emptyset$;
(ii) whenever $a, b \in \operatorname{Ker} f$, then $a+b \in \operatorname{Ker} f$ also; and
(iii) whenever $a \in \operatorname{Ker} f$ and $r \in R$, then $r a \in \operatorname{Ker} f$ also.
The above lemma provides motivation for the definition of ideal in a commutative ring, but before we give the definition, we record a fundamental fact about kernels of homomorphisms of commutative rings.
2.2 Lemma. Let $R$ and $S$ be commutative rings, and let $f: R \rightarrow S$ be a ring homomorphism. Then $\operatorname{Ker} f=\left{0_R\right}$ if and only if $f$ is injective.
Proof. $(\Rightarrow)$ Let $r, r^{\prime} \in R$ be such that $f(r)=f\left(r^{\prime}\right)$. Then $r-r^{\prime} \in$ Ker $f=\left{0_R\right}$.
$(\Leftrightarrow)$ Of course, $0_R \in \operatorname{Ker} f$, by 2.1(i). Let $r \in \operatorname{Ker} f$. Then $f(r)=0_S=$ $f\left(0_R\right)$, so that $r=0_R$ since $f$ is injective.
2.3 Definition. Let $R$ be a commutative ring. A subset $I$ of $R$ is said to be an ideal of $R$ precisely when the following conditions are satisfied:
(i) $I \neq \emptyset$;
(ii) whenever $a, b \in I$, then $a+b \in I$ also; and
(iii) whenever $a \in I$ and $r \in R$, then $r a \in I$ also.
It should be clear to the reader that an ideal of a commutative ring $R$ is closed under subtraction. Any reader experienced in non-commutative ring theory should note that we shall not discuss ideals of non-commutative rings in this book, and so we shall have no need of the concepts of left ideal and right ideal.
交换代数代写
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1.1符号。符号$\mathbb{Z}$将始终表示整数集;此外，$\mathbb{N}$(分别为$\mathbb{N}_0$)将始终表示一组正整数(分别为非负整数)。有理数(分别为实数和复数)的集合将用符号$\mathbb{Q}$(分别为$\mathbb{R}, \mathbb{C}$)表示。
符号$\subseteq$表示’是’的子集;将保留符号$\subset$以表示严格包含。因此，对于集合$A, B$，表达式$A \subset B$表示$A \subseteq B$和$A \neq B$。
符号“$\square$”将用于表示证明的结束或缺失。我们将保留符号
$$
X, Y, X_1, \ldots, X_n
$$
表示不确定的
我们用$|\Omega|$表示有限集合$\Omega$中元素的个数。 也许应该评论
一下family和set之间的区别。我们经常使用圆括号()，如$\left(a_i\right)_{i \in I}$，来表示由集合$I$索引的族;在这里，$a_i$应该被认为位于以$i$标记的“位置”;家庭$\left(a_i\right){i \in I}$被认为等于$\left(b_i\right){i \in I}$当且仅当$a_i=b_i$对于所有$i \in I$。我们可以把一个家庭$\left(a_i\right){i \in I}$想象成一个从$I$到$A$的函数，其中$a_i$位于所有$i \in I$的集合$A$中:在这种解释中，$i$在函数下的图像是$a_i$。另一方面，花括号({}如$$ \left{d_1, \ldots, d_n\right} \quad \text { or } \quad{d \in D: \text { statement } P(d) \text { is true }} \text {, } $$)通常用于表示集合。集合完全由其成员决定，当集合的成员用大括号显示时，不涉及“位置”的概念。family和set之间的区别类似于function和它的映像之间的区别。为了说明它们的区别，让$d_1=d_2=1$和$d_3=3$。那么族$\left(d_i\right){i=1}^3$可以被认为是有序的三元组$(1,1,3)$，而集合$\left{d_1, d_2, d_3\right}$只是包含两个元素的集合${1,1,3}={1,3}$。
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2.1定义和引理。设$R$和$S$为交换环，设$f: R \rightarrow S$为环同态。然后定义$f$的核，记为$\operatorname{Ker} f, b y$
$\operatorname{Ker} f:=\left{r \in R: f(r)=0_S\right}$。
请注意
(i) $0_R \in \operatorname{Ker} f$，以便$\operatorname{Ker} f \neq \emptyset$;
(ii)只要$a, b \in \operatorname{Ker} f$，那么$a+b \in \operatorname{Ker} f$也;和
(iii)只要$a \in \operatorname{Ker} f$和$r \in R$，那么$r a \in \operatorname{Ker} f$也。
上述引理为交换环上理想的定义提供了动机，但在给出交换环上理想的定义之前，我们先记录一个关于交换环同态核的基本事实。
2.2引理。设$R$和$S$为交换环，设$f: R \rightarrow S$为环同态。那么$\operatorname{Ker} f=\left{0_R\right}$当且仅当$f$是单射的。
证明。$(\Rightarrow)$让$r, r^{\prime} \in R$这样$f(r)=f\left(r^{\prime}\right)$。然后$r-r^{\prime} \in$ Ker $f=\left{0_R\right}$。
$(\Leftrightarrow)$当然，$0_R \in \operatorname{Ker} f$，通过2.1(i)。让$r \in \operatorname{Ker} f$。然后是$f(r)=0_S=$$f\left(0_R\right)$，所以$r=0_R$既然$f$是注入的。
2.3定义。设$R$为可交换环。当满足下列条件时，我们称$R$的子集$I$为$R$的理想子集:
(i) $I \neq \emptyset$;
(ii)只要$a, b \in I$，那么$a+b \in I$也;和
(iii)只要$a \in I$和$r \in R$，那么$r a \in I$也。
读者应该很清楚，交换环$R$的理想在减法下是封闭的。任何有非交换环理论经验的读者都应该注意到，在本书中我们将不讨论非交换环的理想，因此我们不需要左理想和右理想的概念。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
