物理代考|Quantization of the Oscillator 量子力学代写
物理代写
6.7 Quantization of the Oscillator
We will spend some time with the quantization of the simple harmonic oscillator, since that will be central to what we do in quantum mechanics. The hamiltonian for the one-dimensional oscillator is
$$
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{\kappa q^{2}}{2} \quad ; \text { oscillator }
$$
Introduce the destruction and creation operators by
$$
\begin{aligned}
a &=\frac{p}{(2 m \hbar \omega)^{1 / 2}}-i q\left(\frac{m \omega}{2 \hbar}\right)^{1 / 2} \quad ; \omega^{2}=\frac{\kappa}{m} \
a^{\dagger} &=\frac{p}{(2 m \hbar \omega)^{1 / 2}}+i q\left(\frac{m \omega}{2 \hbar}\right)^{1 / 2}
\end{aligned}
$$
From our discussion of the hermiticity of operators, it is clear that $a^{\dagger}$ is the hermitian adjoint of $a .{ }^{9}$ The canonical commutation relation between the momentum and coordinate is
$$
[p, q]=\frac{\hbar}{i}
$$
It follows that the creation and destruction operators satisfy
$$
\left[a, a^{\dagger}\right]=1 \quad \text {; commutation relation (6.48) }
$$
Written in terms of these new operators, the hamiltonian takes the form
$$
H=\hbar \omega\left(a^{\dagger} a+\frac{1}{2}\right) \equiv \hbar \omega\left(N+\frac{1}{2}\right)
$$
${ }^{8}$ Recall $c^{2}=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0} .$ ${ }^{9}$ See Prob. $6.4$. Here we label the coordinate more generally as $q .$
Here we have defined the number operator by $$ N \equiv a^{\dagger} a \quad ; \text { number operat } $$
It fiuther follows from our discussion of hermiticity that the number oper-
Now we could write and solve the simple harmonic oscillator as a onedimensional differential Schrödinger equation in coordinate space. ${ }^{11}$ It is of great interest, however, to see how far we can get on the spectrum of the number operator, and on the application of the creation and and destruction operators to those eigenstates, using only the general principles of quantum destructions operators.
We shall therefore proceed to work in an abstract occupation number space, where we write the eigenvalue equation for the number operator in abstract form as ${ }^{12}$
$N|n\rangle=n|n\rangle \quad ;$ abstract eigenvalue equation (6.51)
The abstract eigenstates are orthonormal, with an inner product satisfying
s.
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6.7 振荡器的量化
我们将花一些时间研究简谐振子的量子化，因为这将是我们在量子力学中所做工作的核心。一维振子的哈密顿量是
$$
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{\kappa q^{2}}{2} \quad ; \text { 振荡器 }
$$
介绍销毁和创建操作符
$$
\开始{对齐}
a &=\frac{p}{(2 m \hbar \omega)^{1 / 2}}-iq\left(\frac{m \omega}{2 \hbar}\right)^{1 / 2} \四; \omega^{2}=\frac{\kappa}{m} \
a^{\dagger} &=\frac{p}{(2 m \hbar \omega)^{1 / 2}}+iq\left(\frac{m \omega}{2 \hbar}\right)^ {1 / 2}
\end{对齐}
$$
从我们对算子的hermiticity的讨论中，很明显$a^{\dagger}$是$a的hermitian伴随。{}^{9}$动量和坐标之间的规范对易关系是
$$
[p, q]=\frac{\hbar}{i}
$$
由此可见，创建和销毁操作符满足
$$
\left[a, a^{\dagger}\right]=1 \quad \text {;交换关系 (6.48) }
$$
用这些新的算子来写，汉密尔顿算子的形式是
$$
H=\hbar \omega\left(a^{\dagger} a+\frac{1}{2}\right) \equiv \hbar \omega\left(N+\frac{1}{2}\right)
$$
${ }^{8}$ 回忆 $c^{2}=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0} .$ ${ }^{9}$ 见概率。 6.4 美元。在这里，我们更一般地将坐标标记为 $q .$
这里我们用 $$ N \equiv a^{\dagger} a \quad 定义了数字运算符； \text { 数字运算} $$
从我们对隐蔽性的讨论中进一步得出，数字操作
现在我们可以将简谐振子写成坐标空间中的一维微分薛定谔方程并求解。 ${ }^{11}$ 然而，看看我们能在数算子的谱上走多远，以及将创建和销毁算子应用于那些本征态，我们只使用一般量子破坏算子的原理。
因此，我们将继续在一个抽象的占用数空间中工作，我们将数字运算符的特征值方程以抽象形式写为 ${ }^{12}$
$N|n\rangle=n|n\rangle \quad ;$ 抽象特征值方程 (6.51)
抽象本征态是正交的，内积满足
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大多数常见的光学现象都可以用经典电动力学理论来说明。但是，通常这全套理论很难实际应用，必需先假定简单模型。几何光学的模型最为容易使用。
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上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
