微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 微分学
It can happen that $\lim {x \rightarrow a} f(x)$ does not exist, but $f(x)$ can approach a particular value as $x$ approaches $a$ either from left or from right, as in the following figure corresponding to Example 2.1.3 (Fig. 2.8). Definition 2.1.5 Let $f$ be a real valued function defined on a set $D \subseteq \mathbb{R}$. (1) Suppose $D \cap(-\infty, a) \neq \varnothing$ and $a$ is a limit point of $D \cap(-\infty, a)$. Then we say that $f(x)$ has the left limit $b \in \mathbb{R}$ as $x$ approaches $a \in \mathbb{R}$ from left if for every $\varepsilon>0$, there exists $\delta>0$ such that $$ |f(x)-b|<\varepsilon \quad \forall x \in D \cap(a-\delta, a) $$ and in that case we write $\lim {x \rightarrow a^{-}} f(x)=b$.
(2) Suppose $D \cap(a, \infty) \neq \varnothing$ and $a$ is a limit point of $D \cap(a, \infty)$. Then we say that $f(x)$ has the right limit $b \in \mathbb{R}$ as $x$ approaches $a \in \mathbb{R}$ from right if for every $\varepsilon>0$, there exists $\delta>0$ such that
$$
|f(x)-b|<\varepsilon \quad \forall x \in D \cap(a, a+\delta)
$$
and in that case we write $\lim {x \rightarrow a^{+}} f(x)=b .$ Notation 2.1.3 We shall use the notations: $$ f(a-):=\lim {x \rightarrow a^{-}} f(x), \quad f(a+):=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
whenever the above lingion $2.1$ Limit of a FunctionWe have the following characterizations in terms of sequences (Verify):
- $\lim {x \rightarrow a-} f(x)=b$ if and only if for every sequence $\left(x{n}\right)$ in $D \backslash{a}$,
$$
x_{n}<a \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad x_{n} \rightarrow a \Rightarrow f\left(x_{n}\right) \rightarrow b
$$
$\Delta$ - $\lim {x \rightarrow a+} f(x)=b$ if and only if for every sequence $\left(x{n}\right)$ in $D \backslash{a}$,
$$
x_{n}>a \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad x_{n} \rightarrow a \Rightarrow f\left(x_{n}\right) \rightarrow b .
$$
The proof of the following theorem is left as an exercise.
$\lim {x \rightarrow a} f(x)d○和sn○吨和X一世s吨,b你吨f(x)C一种n一种ppr○一种CH一种p一种r吨一世C你一世一种rv一种一世你和一种sX一种ppr○一种CH和s一种和一世吨H和rFr○米一世和F吨○rFr○米r一世GH吨,一种s一世n吨H和F○一世一世○在一世nGF一世G你r和C○rr和sp○nd一世nG吨○和X一种米p一世和2.1.3(F一世G.2.8).D和F一世n一世吨一世○n2.1.5一世和吨Fb和一种r和一种一世v一种一世你和dF你nC吨一世○nd和F一世n和d○n一种s和吨D \subseteq \mathbb{R}.(1)小号你pp○s和D \cap(-\infty, a) \neq \varnothing一种nd一种一世s一种一世一世米一世吨p○一世n吨○FD \cap(-\infty, a).吨H和n在和s一种和吨H一种吨f(x)H一种s吨H和一世和F吨一世一世米一世吨b \in \mathbb{R}一种sX一种ppr○一种CH和s一个 \in \mathbb{R}Fr○米一世和F吨一世FF○r和v和r和\伐普西隆>0,吨H和r和和X一世s吨s\delta>0s你CH吨H一种吨|F(X)−b|<e∀X∈D∩(一种−d,一种)一种nd一世n吨H一种吨C一种s和在和在r一世吨和\lim {x \rightarrow a^{-}} f(x)=b.(2)小号你pp○s和D \cap(a, \infty) \neq \varnothing一种nd一种一世s一种一世一世米一世吨p○一世n吨○FD \cap(a, \infty).吨H和n在和s一种和吨H一种吨f(x)H一种s吨H和r一世GH吨一世一世米一世吨b \in \mathbb{R}一种sX一种ppr○一种CH和s一个 \in \mathbb{R}Fr○米r一世GH吨一世FF○r和v和r和\伐普西隆>0,吨H和r和和X一世s吨s\delta>0s你CH吨H一种吨|F(X)−b|<e∀X∈D∩(一种,一种+d)一种nd一世n吨H一种吨C一种s和在和在r一世吨和\lim {x \rightarrow a^{+}} f(x)=b 。ñ○吨一种吨一世○n2.1.3在和sH一种一世一世你s和吨H和n○吨一种吨一世○ns:$ f(a-):=\lim {x \rightarrow a^{-}} f(x), \quad f(a+):=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
每当上面的lingion2.1函数的极限我们在序列方面有以下特征（验证）：
- $\lim {x \rightarrow a-} f(x)=b一世F一种nd○n一世和一世FF○r和v和r和s和q你和nC和\left(x {n}\right)一世nD \反斜杠{a},Xn<一种∀n∈ñ,Xn→一种⇒F(Xn)→b\三角洲$
- $\lim {x \rightarrow a+} f(x)=b一世F一种nd○n一世和一世FF○r和v和r和s和q你和nC和\left(x {n}\right)一世nD \反斜杠{a},Xn>一种∀n∈ñ,Xn→一种⇒F(Xn)→b.$
以下定理的证明留作练习。
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