数学代写|Convergence in law in a nite-dimensional vector space数论代考
数论代考
We will use two important criteria for convergence in law for random variables with values in a finite-dimensional real vector space $V$, which both amount to testing (B.1) for a restricted set of functions. Another important criterion applies to variables with values in a compact topological group, and is reviewed below in Section B.6.
The first result is valid in all cases, and is based on the Fourier transform. Given an integer $m \geqslant 1$ and a probability measure $\mu$ on $\mathbf{R}^{m}$, recall that the characteristic function (or Fourier transform) of $\mu$ is the function
fined by $\varphi_{\mu}$
$$
\varphi_{\mu}: \mathbf{R}^{m} \longrightarrow \mathbf{C}
$$
$$
\varphi_{\mu}: \mathrm{R}^{m} \longrightarrow \mathrm{C}
$$
defined by $$ \varphi_{\mu}(t)=\int_{\mathbf{R}^{m}} e^{i t \cdot x} d \mu(x), $$
where $t \cdot x=t_{1} x_{1}+\cdots+t_{m} x_{m}$ is the standard inner-product. This is a continuous bounded function on $\mathbf{R}^{m}$. For a random vector $X$ with values in $\mathbf{R}^{m}$, we denote by $\varphi \mathrm{X}$ the characteristic function of $X(P)$, namely
$$
\varphi_{\mathrm{X}}(t)=\mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{X}}\right) .
$$
We state two (obviously equivalent) versions of P. Lévy’s theorem for convenience:
THEOREM B.5.1 (Lévy Criterion). Let $m \geqslant 1$ be an integer.
(1) Let $\left(\mu_{n}\right)$ be a sequence of probability measures on $\mathbf{R}^{m}$, and let $\mu$ be a probability measure on $\mathbf{R}^{m}$. Then $\left(\mu_{n}\right)$ converges weakly to $\mu$ if and only if, for any $t \in \mathbf{R}^{m}$, we have
$$
\varphi_{\mu_{n}}(t) \longrightarrow \varphi_{\mu}(t)
$$
as $n \rightarrow+\infty$.
(2) Let $(\Omega, \Sigma, \mathrm{P})$ be a probability space. Let $\left(\mathrm{X}{n}\right){n \geqslant 1}$ be $\mathbf{R}^{m}$-valued random vectors on $\Omega$, and let $\mathrm{X}$ be an $\mathrm{R}^{m}$-valued random vector. Then $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ converges in law to $\mathrm{X}$ if and only if, for all $t \in \mathbf{R}^{m}$, we have $$ \mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{X}{n}}\right) \longrightarrow \mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{X}}\right)
$$
For a proof, see e.g. [9, Th. 26.3] in the case $m=1$.
REMARK B.5.2. In fact, the precise version of Lévy’s Theorem does not require to know in advance the limit of the sequence: if a sequence $\left(\mu_{n}\right)$ of probability measures is such that, for all $t \in \mathbf{R}^{m}$, we have
$$
\varphi_{\mu_{n}}(t) \longrightarrow \varphi(t)
$$
for some function $\varphi$, and if $\varphi$ is continuous at 0 , then one can show that $\varphi$ is the characteristic function of a probability measure $\mu$ (and hence that $\mu_{n}$ converges weakly to $\mu)$; see for instance [9, p. 350, cor. 1]. So, for instance, it is not necessary to know beforehand that $\varphi(t)=e^{-t^{2} / 2}$ is the characteristic function of a probability measure in order to prove the Central Limit Theorem using Lévy’s Criterion.
LEMMA B.5.3. Let $m \geqslant 1$ be an integer. Let $\left(\mathrm{X}{n}\right){n \geqslant 1}$ be a sequence of random variables with values in $\mathbf{R}^{m}$ on some probability space. Let $\left(\beta_{n}\right)$ be a sequence of positive real numbers such that $\beta_{n} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow+\infty$. If $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ converges in law to an $\mathrm{R}^{m}$-valued random variable $\mathrm{X}$, then for any sequence $\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ of $\mathbf{R}^{m}$-valued random variables such that $\left|\mathrm{X}{n}-\mathrm{Y}{n}\right|_{\infty} \leqslant \beta_{n}$ for all $n \geqslant 1$, the random variables $\mathrm{Y}{n}$ converge to $\mathrm{X}$. 139 PROOF. We use Lévy’s criterion. We fix $t \in \mathbf{R}^{m}$ and write $$ \mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{Y}{n}}\right)-\mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{X}}\right)=\mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{i t \cdot \mathrm{X}{n}}\right)+\mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{X}{n}}-e^{i t \cdot \mathrm{X}}\right) $$ By Lévy’s Theorem and our assumption on the convergence of the sequence $\left(\mathrm{X}{n}\right)$, the second term on the right converges to 0 as $n \rightarrow+\infty$. For the first, we can simply apply the dominated convergence theorem to derive the same conclusion: we have
$$
\left|\mathrm{X}{n}-\mathrm{Y}{n}\right|_{\infty} \leqslant \beta_{n} \rightarrow 0
$$
hence
$$
e^{i t \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{i t \cdot \mathrm{X}{n}}=e^{i t \cdot \mathrm{Y}{n}}\left(1-e^{i t \cdot\left(\mathrm{X}{n}-\mathrm{Y}{n}\right)}\right) \rightarrow 0 $$ (pointwise) as $n \rightarrow+\infty$. Moreover, we have $$ \left|e^{i t \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{i t \cdot \mathrm{X}{n}}\right| \leqslant 2 $$ for all $n \geqslant 1$. Hence the dominated convergence theorem implies that the expectation $\mathbf{E}\left(e^{i t \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{i t \cdot \mathrm{X}_{n}}\right)$ converges to 0 .
Lévy’s Theorem applied once more allows us to conclude that $\left(\mathrm{Y}_{n}\right)$ converges in law to $\mathrm{X}$, as claimed.
对于在有限维实向量空间 $V$ 中具有值的随机变量，我们将使用两个重要的法律收敛标准，这两个标准都相当于对一组受限函数进行测试 (B.1)。另一个重要标准适用于具有紧凑拓扑组中的值的变量，并在下面的 B.6 节中进行了回顾。
第一个结果在所有情况下都有效，并且基于傅里叶变换。给定一个整数 $m \geqslant 1$ 和一个在 $\mathbf{R}^{m}$ 上的概率测度 $\mu$，回想一下 $\mu$ 的特征函数（或傅里叶变换）是函数
被$\varphi_{\mu}$罚款
$$
\varphi_{\mu}: \mathbf{R}^{m} \longrightarrow \mathbf{C}
$$
$$
\varphi_{\mu}: \mathrm{R}^{m} \longrightarrow \mathrm{C}
$$
定义为 $$ \varphi_{\mu}(t)=\int_{\mathbf{R}^{m}} e^{i t \cdot x} d \mu(x), $$
其中 $t \cdot x=t_{1} x_{1}+\cdots+t_{m} x_{m}$ 是标准内积。这是 $\mathbf{R}^{m}$ 上的一个连续有界函数。对于一个随机向量$X$，其值为$\mathbf{R}^{m}$，我们用$\varphi\mathrm{X}$表示$X(P)$的特征函数，即
$$
\varphi_{\mathrm{X}}(t)=\mathbf{E}\left(e^{it \cdot \mathrm{X}}\right) 。
$$
为方便起见，我们陈述了 P. Lévy 定理的两个（显然等价的）版本：
定理 B.5.1（列维准则）。令 $m \geqslant 1$ 为整数。
(1) 令$\left(\mu_{n}\right)$ 为$\mathbf{R}^{m}$ 上的概率测度序列，令$\mu$ 为$\mathbf 上的概率测度{R}^{m}$。那么 $\left(\mu_{n}\right)$ 弱收敛到 $\mu$ 当且仅当，对于任何 $t \in \mathbf{R}^{m}$，我们有
$$
\varphi_{\mu_{n}}(t) \longrightarrow \varphi_{\mu}(t)
$$
作为$n \rightarrow+\infty$。
(2) 令$(\Omega, \Sigma, \mathrm{P})$ 为概率空间。令 $\left(\mathrm{X}{n}\right){n \geqslant 1}$ 为 $\Omega$ 上的 $\mathbf{R}^{m}$ 值随机向量，令 $ \mathrm{X}$ 是一个 $\mathrm{R}^{m}$ 值的随机向量。那么 $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ 收敛于 $\mathrm{X}$ 当且仅当，对于所有 $t \in \mathbf{R}^{m}$ ， 我们有 $$ \mathbf{E}\left(e^{it \cdot \mathrm{X}{n}}\right) \longrightarrow \mathbf{E}\left(e^{it \cdot \mathrm{X}}\正确的）
$$
有关证明，请参见例如[9，Th。 26.3] 在 $m=1$ 的情况下。
备注 B.5.2。事实上，Lévy 定理的精确版本不需要事先知道序列的极限：如果一个序列 $\left(\mu_{n}\right)$ 的概率测度是这样的，对于所有 $t\在 \mathbf{R}^{m}$ 中，我们有
$$
\varphi_{\mu_{n}}(t) \longrightarrow \varphi(t)
$$
对于某个函数 $\varphi$，如果 $\varphi$ 在 0 处是连续的，那么可以证明 $\varphi$ 是概率测度 $\mu$ 的特征函数（因此 $\mu_{n} $ 弱收敛到 $\mu)$;参见例如 [9, p. 350，科尔。 1]。因此，例如，没有必要事先知道 $\varphi(t)=e^{-t^{2} / 2}$ 是概率测度的特征函数，以便使用以下方法证明中心极限定理列维准则。
引理 B.5.3。令 $m \geqslant 1$ 为整数。令 $\left(\mathrm{X}{n}\right){n \geqslant 1}$ 是在某个概率空间上具有 $\mathbf{R}^{m}$ 值的随机变量序列。令 $\left(\beta_{n}\right)$ 是一个正实数序列，使得 $\beta_{n} \rightarrow 0$ 为 $n \rightarrow+\infty$。如果 $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ 收敛于一个 $\mathrm{R}^{m}$ 值随机变量 $\mathrm{X}$，那么对于任何序列$\left(\mathrm{Y}{n}\right)$ 的 $\mathbf{R}^{m}$ 值随机变量使得 $\left|\mathrm{X}{n}- \mathrm{Y}{n}\right|_{\infty} \leqslant \beta_{n}$ 对于所有 $n \geqslant 1$，随机变量 $\mathrm{Y}{n}$ 收敛到 $\mathrm{X}$。 139 证明。我们使用 Lévy 标准。我们修正 $t \in \mathbf{R}^{m}$ 并写 $$ \mathbf{E}\left(e^{it \cdot \mathrm{Y}{n}}\right)-\mathbf{E}\left(e^{it \cdot \mathrm{X}}\right )=\mathbf{E}\left(e^{it \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{it \cdot \mathrm{X}{n}}\right)+\mathbf{ E}\left(e^{it \cdot \mathrm{X}{n}}-e^{it \cdot \mathrm{X}}\right) $$ 根据 Lévy 定理和我们对序列 $\left(\mathrm{X}{n}\right)$ 收敛的假设，右边的第二项收敛到 0 作为 $n \rightarrow+\infty$。首先，我们可以简单地应用支配收敛定理得出相同的结论：我们有
$$
\left|\mathrm{X}{n}-\mathrm{Y}{n}\right|_{\infty} \leqslant \beta_{n} \rightarrow 0
$$
因此
$$
e^{it \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{it \cdot \mathrm{X}{n}}=e^{it \cdot \mathrm{Y}{n}} \left(1-e^{it \cdot\left(\mathrm{X}{n}-\mathrm{Y}{n}\right)}\right) \rightarrow 0 $$ （逐点）作为$n \rightarrow+\infty$。此外，我们有 $$ \left|e^{i t \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{i t \cdot \mathrm{X}{n}}\right| \leqslant 2 $$ 对于所有 $n \geqslant 1$。因此，支配收敛定理意味着期望 $\mathbf{E}\left(e^{it \cdot \mathrm{Y}{n}}-e^{it \cdot \mathrm{X}_{n} }\right)$ 收敛到 0 。
再次应用 Lévy 定理让我们得出结论 $\left(\mathrm{Y}_{n}
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
其他相关科目课程代写：组合学Combinatorics集合论Set Theory概率论Probability组合生物学Combinatorial Biology组合化学Combinatorial Chemistry组合数据分析Combinatorial Data Analysis
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
