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By admin 数学代写 2022年3月21日

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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单变量微积分
多变量微积分
傅里叶级数
黎曼积分
ODE
微分学

In the following $I$ denotes an interval.

Prove that, if $\left(f_{n}\right)$ converges pointwise on $I$, then there exists a unique function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ such that $f_{n} \rightarrow f$ pointwise.
Prove that, for every $x \geq 0$,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} x e^{-n x}=0, \quad \lim {n \rightarrow \infty} n^{2} x^{2} e^{-n x}=0
$$
Let $f_{n}(x)=(1-x) x^{n}$ for $x \in[0,1]$. Show that $\left(f_{n}\right)$ converges uniformly. $\left[\right.$ Hint: Check $\sup \left{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|: x \in[0,1]\right} \rightarrow 0$.]
Suppose $f_{n} \rightarrow f$ uniformly on $[a, b]$. Show that, if $f$ is continuous on $[a, b]$, then for every $\left(x_{n}\right)$ in $[a, b], x_{n} \rightarrow x$ implies $f_{n}\left(x_{n}\right) \rightarrow f(x)$.
Let $f_{n}$ for every $n \in \mathbb{N}$ and $f$ be continuous functions on $[a, b]$. Justify the statement: $f_{n} \rightarrow f$ uniformly if and only if for every sequence $\left(x_{n}\right)$ in $[a, b]$, $\left|f_{n}\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)\right| \rightarrow 0$.
Justify the statement: If $\left(f_{n}\right)$ converges uniformly to $f$ on $I$, then $\left(f_{n}^{2}\right)$ need not converge uniformly to $f^{2}$.
[Hint: Consider $f_{n}(x)=x+1 / n$ on $[0, \infty)$.]
Justify the statement: If $\left(f_{n}\right)$ is a sequence of continuous functions on an interval $I$ which converges pointwise to a continuous function $f$ on $I$, then the convergence need not be uniform.
[Hint: Consider $f_{n}(x)=x / n$ on $[0, \infty$.]
For $n \in \mathbb{N}$, let $f_{n}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ be defined by
$$
f_{n}(x)= \begin{cases}n(1-n|x|), & 0<|x|<1 / n \ 0, & x=0 \&|x| \geq 1 / n\end{cases}
$$
for $x \in[-1,1]$. Show that each $f_{n}$ is integrable and $\left(f_{n}\right)$ converges pointwise to an integrable function $f$, but $\left(\int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right)$ does not converge to $\int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$.
For $n \in \mathbb{N}$, let
$$
f_{n}(x)=n^{2} x\left(1-x^{2}\right)^{n}, \quad x \in[0,1] .
$$
Show that $f_{n} \rightarrow 0$ pointwise , but $\left(\int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x\right)$ does not converge to 0 .

在下面的一世表示一个区间。

证明，如果(Fn)逐点收敛一世，则存在唯一函数F:一世→R这样Fn→F逐点。
证明，对于每个X≥0,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} xe^{-nx}=0, \quad \lim {n \rightarrow \infty} n^{2} x^{2} e^{-nx}=0
$$
让Fn(X)=(1−X)Xn为了X∈[0,1]. 显示(Fn)均匀收敛。[提示：检查\sup \left{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|: x \in[0,1]\right} \rightarrow 0\sup \left{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|: x \in[0,1]\right} \rightarrow 0.]
认为Fn→F一致地[一种,b]. 证明，如果F是连续的[一种,b]，那么对于每个(Xn)在[一种,b],Xn→X暗示Fn(Xn)→F(X).
让Fn对于每个n∈ñ和F是连续函数[一种,b]. 证明声明：Fn→F一致当且仅当对于每个序列(Xn)在[一种,b],|Fn(Xn)−F(Xn)|→0.
证明陈述的合理性：如果(Fn)均匀地收敛到F在一世，然后(Fn2)不需要一致地收敛到F2.
[提示：考虑Fn(X)=X+1/n在[0,∞).]
证明陈述的合理性：如果(Fn)是区间上的一系列连续函数一世逐点收敛到一个连续函数F在一世，则收敛不必是均匀的。
[提示：考虑Fn(X)=X/n在[0,∞.]
为了n∈ñ，让Fn:[−1,1]→R定义为
Fn(X)={n(1−n|X|),0<|X|<1/n 0,X=0&|X|≥1/n
为了X∈[−1,1]. 表明每个Fn是可积的并且(Fn)逐点收敛到可积函数F，但(∫−11Fn(X)dX)不收敛到∫−11Fn(X)dX.
为了n∈ñ，让
Fn(X)=n2X(1−X2)n,X∈[0,1].
显示Fn→0逐点，但是(∫−11Fn(X)dX)不收敛到 0 。