如果你也在 怎样代写傅里叶分析Fourier Analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。傅里叶分析Fourier Analysis在数学中，傅里叶分析（/ˈfʊrieɪ, -iər/）是研究一般函数如何通过较简单的三角函数之和来表示或近似。傅里叶分析源于对傅里叶级数的研究，并以约瑟夫-傅里叶的名字命名，他表明将一个函数表示为三角函数之和可以大大简化对热传递的研究。
傅里叶分析Fourier Analysis的主题包含了一个巨大的数学范围。在科学和工程领域，将一个函数分解成振荡成分的过程通常被称为傅里叶分析，而从这些碎片中重建函数的操作被称为傅里叶合成。例如，确定一个音符中存在哪些频率成分，需要计算采样音符的傅里叶变换。然后，人们可以通过包括傅里叶分析中显示的频率成分来重新合成同一个声音。在数学中，傅里叶分析一词通常指的是对这两种操作的研究。
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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|$L^2$ Boundedness of Homogeneous Singular Integrals
Next we would like to compute the Fourier transform of $W_{\Omega}$. This provides information as to whether the operator given by convolution with $K_{\Omega}$ is $L^2$ bounded. We have the following result.
Proposition 4.2.3. Let $n \geq 2$ and $\Omega \in L^1\left(\mathbf{S}^{n-1}\right)$ have mean value zero. Then the Fourier transform of $W_{\Omega}$ is a (finite a.e.) function given by the formula
$$
\widehat{W_{\Omega}}(\xi)=\int_{\mathbf{S}^{n-1}} \Omega(\theta)\left(\log \frac{1}{|\xi \cdot \theta|}-\frac{i \pi}{2} \operatorname{sgn}(\xi \cdot \theta)\right) d \theta .
$$
Remark 4.2.4. We need to show that the function of $\xi$ on the right in (4.2.8) is well defined and finite for almost all $\xi$ in $\mathbf{R}^n$. Write $\xi=|\xi| \xi^{\prime}$ where $\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$ and decompose $\log \frac{1}{|\xi \cdot \theta|}$ as $\log \frac{1}{|\xi|}+\log \frac{1}{\left|\xi^{\prime} \cdot \theta\right|}$. Since $\Omega$ has mean value zero, the term $\log \frac{1}{|\xi|}$ multiplied by $\Omega(\theta)$ vanishes when integrated over the sphere.
We need to show that
$$
\int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \log \frac{1}{\left|\xi^{\prime} \cdot \theta\right|} d \theta<\infty
$$
for almost all $\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$. Integrate (4.2.9) over $\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$ and apply Fubini’s theorem to obtain
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \int_{\mathbf{S}^{n-1}} & \log \frac{1}{\left|\xi^{\prime} \cdot \theta\right|} d \xi^{\prime} d \theta \
& =\int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \int_{\mathbf{S}^{n-1}} \log \frac{1}{\left|\xi_1\right|} d \xi d \theta \
& =\omega_{n-2} \int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \int_{-1}^{+1}\left(\log \frac{1}{|s|}\right)\left(1-s^2\right)^{\frac{n-3}{2}} d s d \theta \
& =C_n|\Omega|_{L^1\left(\mathbf{S}^{n-1}\right)}<\infty
\end{aligned}
$$
since we are assuming that $n \geq 2$. (The second-to-last identity follows from the identity in Appendix D.2.) We conclude that (4.2.9) holds for almost all $\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$.
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|The Method of Rotations
Having settled the issue of $L^2$ boundedness for singular integrals of the form $T_{\Omega}$ with $\Omega$ odd, we turn our attention to their $L^p$ boundedness. A simple procedure called the method of rotations plays a crucial role in the study of operators $T_{\Omega}$ when $\Omega$ is an odd function.
Theorem 4.2.7. If $\Omega$ is odd and integrable over $\mathbf{S}^{n-1}$, then $T_{\Omega}$ and $T_{\Omega}^{(*)}$ are $L^p$ bounded for all $1<p<\infty$. More precisely, $T_{\Omega}$ initially defined on Schwartz functions has a bounded extension on $L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$ (which is also denoted by $T_{\Omega}$ ).
Proof. We introduce the directional Hilbert transforms. Fix a unit vector $\theta$ in $\mathbf{R}^n$. For a Schwartz function $f$ on $\mathbf{R}^n$ let
$$
\mathscr{H}\theta(f)(x)=\frac{1}{\pi} \text { p.v. } \int{-\infty}^{+\infty} f(x-t \theta) \frac{d t}{t} .
$$
We call $\mathscr{H}\theta(f)$ the directional Hilbert transform of $f$ in the direction $\theta$. Let $e_j$ be the usual unit vectors in $\mathbf{S}^{n-1}$. Then $\mathscr{H}{e_1}$ is simply obtained by applying the Hilbert transform in the first variable followed by the identity operator in the remaining variables. Clearly, $\mathscr{H}{e_1}$ is bounded on $L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$ with norm equal to that of the Hilbert transform on $L^p(\mathbf{R})$. Next observe that the following identity is valid for all matrices $A \in O(n):$ $$ \mathscr{H}{A\left(e_1\right)}(f)(x)=\mathscr{H}{e_1}(f \circ A)\left(A^{-1} x\right) . $$ This implies that the $L^p$ boundedness of $\mathscr{H}\theta$ can be reduced to that of $\mathscr{H}{e_1}$. We conclude that $\mathscr{H}\theta$ is $L^p$ bounded for $1<p<\infty$ with norm bounded by the norm of the Hilbert transform on $L^p(\mathbf{R})$ for every $\theta \in \mathbf{S}^{n-1}$.
Likewise, we define the directional maximal Hilbert transforms. For a function $f$ in $\bigcup_{1 \leq p<\infty} L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$ and $0<\varepsilon<N<\infty$ we let
$$
\begin{aligned}
\mathscr{H}\theta^{(\varepsilon, N)}(f)(x) & =\frac{1}{\pi} \int{\varepsilon \leq|t| \leq N} f(x-t \theta) \frac{d t}{t}, \
\mathscr{H}\theta^{(* )}(f)(x) & =\sup {0<\varepsilon\theta^{(\varepsilon, N)}(f)(x)\right| . \end{aligned} $$ We observe that for any fixed $0<\varepsilon\theta^{(\varepsilon, N)}(f)$ is well defined almost everywhere. Indeed, by Minkowski’s integral inequality we obtain $$ \left|\mathscr{H}\theta^{(\varepsilon, N)}(f)\right|{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)} \leq \frac{2}{\pi}|f|_{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)} \log \frac{N}{\varepsilon}<\infty, $$ which implies that $\mathscr{H}\theta^{(\varepsilon, N)}(f)(x)$ is finite for almost all $x \in \mathbf{R}^n$. Thus $\mathscr{H}\theta^{( *)}(f)$ is well defined a.e. for $f$ in $\bigcup_{1 \leq p<\infty} L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$.
傅里叶分析代写
数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|$L^2$ Boundedness of Homogeneous Singular Integrals
接下来我们要计算$W_{\Omega}$的傅里叶变换。这提供了关于与$K_{\Omega}$卷积给出的算子是否为$L^2$有界的信息。我们得到以下结果。
提案4.2.3。设$n \geq 2$和$\Omega \in L^1\left(\mathbf{S}^{n-1}\right)$的平均值为0。那么$W_{\Omega}$的傅里叶变换是由公式给出的(有限a.e.)函数
$$
\widehat{W_{\Omega}}(\xi)=\int_{\mathbf{S}^{n-1}} \Omega(\theta)\left(\log \frac{1}{|\xi \cdot \theta|}-\frac{i \pi}{2} \operatorname{sgn}(\xi \cdot \theta)\right) d \theta .
$$
4.2.4.备注我们需要证明(4.2.8)中右侧的$\xi$函数对于$\mathbf{R}^n$中的几乎所有$\xi$都是定义良好且有限的。写入$\xi=|\xi| \xi^{\prime}$，其中$\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$并将$\log \frac{1}{|\xi \cdot \theta|}$分解为$\log \frac{1}{|\xi|}+\log \frac{1}{\left|\xi^{\prime} \cdot \theta\right|}$。由于$\Omega$的平均值为零，因此在球面上积分时，$\log \frac{1}{|\xi|}$乘以$\Omega(\theta)$项就消失了。
我们需要证明这一点
$$
\int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \log \frac{1}{\left|\xi^{\prime} \cdot \theta\right|} d \theta<\infty
$$
对于几乎所有的$\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$。(4.2.9)对$\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$积分，应用富比尼定理得到
$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \int_{\mathbf{S}^{n-1}} & \log \frac{1}{\left|\xi^{\prime} \cdot \theta\right|} d \xi^{\prime} d \theta \
& =\int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \int_{\mathbf{S}^{n-1}} \log \frac{1}{\left|\xi_1\right|} d \xi d \theta \
& =\omega_{n-2} \int_{\mathbf{S}^{n-1}}|\Omega(\theta)| \int_{-1}^{+1}\left(\log \frac{1}{|s|}\right)\left(1-s^2\right)^{\frac{n-3}{2}} d s d \theta \
& =C_n|\Omega|_{L^1\left(\mathbf{S}^{n-1}\right)}<\infty
\end{aligned}
$$
因为我们假设$n \geq 2$。(倒数第二个恒等式来自附录D.2中的恒等式。)我们得出结论，(4.2.9)对几乎所有$\xi^{\prime} \in \mathbf{S}^{n-1}$都成立。
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|The Method of Rotations
在解决了形式为$T_{\Omega}$和$\Omega$奇数的奇异积分的$L^2$有界性问题之后，我们将注意力转向它们的$L^p$有界性。当$\Omega$是奇函数时，一个叫做旋转法的简单程序在研究算子$T_{\Omega}$中起着至关重要的作用。
定理4.2.7。如果$\Omega$是奇数且在$\mathbf{S}^{n-1}$上可积，那么对于所有$1<p<\infty$, $T_{\Omega}$和$T_{\Omega}^{()}$都是$L^p$有界的。更准确地说，最初定义在Schwartz函数上的$T_{\Omega}$在$L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$(也用$T_{\Omega}$表示)上有一个有界扩展。 证明。我们引入方向希尔伯特变换。修复一个单位矢量$\theta$在$\mathbf{R}^n$。对于Schwartz函数$f$在$\mathbf{R}^n$上让 $$ \mathscr{H}\theta(f)(x)=\frac{1}{\pi} \text { p.v. } \int{-\infty}^{+\infty} f(x-t \theta) \frac{d t}{t} . $$ 我们称$\mathscr{H}\theta(f)$为$f$在$\theta$方向上的方向希尔伯特变换。设$e_j$是$\mathbf{S}^{n-1}$中的单位向量。然后通过在第一个变量中应用希尔伯特变换，然后在其余变量中应用单位运算符，简单地获得$\mathscr{H}{e_1}$。显然，$\mathscr{H}{e_1}$在$L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$上有界，其范数等于$L^p(\mathbf{R})$上的希尔伯特变换的范数。接下来观察到以下恒等式对所有矩阵$A \in O(n):$$$ \mathscr{H}{A\left(e_1\right)}(f)(x)=\mathscr{H}{e_1}(f \circ A)\left(A^{-1} x\right) . $$都有效，这意味着$\mathscr{H}\theta$的$L^p$有界性可以简化为$\mathscr{H}{e_1}$的有界性。我们得出结论，$\mathscr{H}\theta$对于$1 )}(f)(x) & =\sup {0<\varepsilon\theta^{(\varepsilon, N)}(f)(x)\right| . \end{aligned} $$我们观察到，对于任何固定的$0<\varepsilon\theta^{(\varepsilon, N)}(f)$几乎在任何地方都是定义良好的。实际上，通过Minkowski的积分不等式，我们得到$$ \left|\mathscr{H}\theta^{(\varepsilon, N)}(f)\right|{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)} \leq \frac{2}{\pi}|f|{L^p\left(\mathbf{R}^n\right)} \log \frac{N}{\varepsilon}<\infty, $$，这意味着$\mathscr{H}\theta^{(\varepsilon, N)}(f)(x)$对几乎所有$x \in \mathbf{R}^n$都是有限的。因此，对于$\bigcup{1 \leq p<\infty} L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$中的$f$, $\mathscr{H}\theta^{( *)}(f)$是定义良好的a.e.。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
