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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Uniqueness of the Unity

If $R$ is a ring that has a unity, the unity is unique.
Proof Suppose that both $e$ and $e^{\prime}$ are unity elements in a ring $R$. Consider the product $e \cdot e^{\prime}$ in $R$. On the one hand, we have $e \cdot e^{\prime}=e$, since $e^{\prime}$ is a unity. On the other hand, $e \cdot e^{\prime}=e^{\prime}$, since $e$ is a unity. Thus
$$
e=e \cdot e^{\prime}=e^{\prime},
$$
and the unity is unique.
In general discussions, we shall denote the unity by $e$. When a ring $R$ has a unity, it is in order to consider the existence of multiplicative inverses.
Multiplicative Inverse
Let $R$ be a ring with unity $e$, and let $a \in R$. If there is an element $x$ in $R$ such that $a x=x a=e$, then $x$ is a multiplicative inverse of $a$ and $a$ is called a unit (or an invertible element) in $R$.

As with the unity, a multiplicative inverse of an element is unique whenever it exists. The proof of this is left as an exercise.

Uniqueness of the Multiplicative Inverse
Suppose $R$ is a ring with unity $e$. If an element $a \in R$ has a multiplicative inverse, the multiplicative inverse of $a$ is unique.

We shall use the standard notation $a^{-1}$ to denote the multiplicative inverse of $a$, if the inverse exists.

Example 10 Some elements in a ring $R$ may have multiplicative inverses whereas others do not. In the ring $\mathbf{Z}{10}$, [1] and [9] are their own multiplicative inverses, whereas [3] and [7] are inverses of each other. All other elements of $\mathbf{Z}{10}$ do not have multiplicative inverses, so the only units in $\mathbf{Z}_{10}$ are [1], [9], [3], and [7].

Since every ring $R$ forms an abelian group with respect to addition, many of our results for groups have immediate applications concerning addition in a ring. For example, Theorem 3.4 gives these results:

1. The zero element in $R$ is unique.
2. For each $x$ in $R,-x$ is unique.
3. For each $x$ in $R,-(-x)=x$.
4. For any $x$ and $y$ in $R,-(x+y)=-y-x$.
5. If $a, x$, and $y$ are in $R$ and $a+x=a+y$, then $x=y$.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Zero Product

If $R$ is a ring, then
$$
a \cdot 0=0 \cdot a=0
$$
for all $a \in R$.
Proof Let $a$ be arbitrary in $R$. We reduce $a \cdot 0$ to 0 by using various conditions in Definition 5.1a, as indicated:
$$
\begin{aligned}
a \cdot 0 & =a \cdot 0+0 & & \text { by condition 3 } \
& =a \cdot 0+{a \cdot 0+[-(a \cdot 0)]} & & \text { by condition 4 } \
& =(a \cdot 0+a \cdot 0)+[-(a \cdot 0)] & & \text { by condition 2 } \
& =[a \cdot(0+0)]+[-(a \cdot 0)] & & \text { by condition 8 } \
& =a \cdot 0+[-(a \cdot 0)] & & \text { by condition 3 } \
& =0 & & \text { by condition 4. }
\end{aligned}
$$
Similar steps can be used to reduce $0 \cdot a$ to 0 .
Theorem 5.9 says that a product is 0 if one of the factors is 0 . Note that the converse is not true: A product may be 0 when neither factor is 0 . An illustration is provided by $[2] \cdot[5]=[0]$ in the ring $\mathbf{Z}_{10}$.

Zero Divisor
Let $R$ be a ring and let $a \in R$. If $a \neq 0$, and if there exists an element $b \neq 0$ in $R$ such that either $a b=0$ or $b a=0$, then $a$ is called a proper divisor of zero, or a zero divisor.

If we compare the steps used in the proof of Theorem 5.9 to the last part of the proof of Theorem 2.2, we see that they are much the same. In the same fashion, the proof of the first part of the next theorem is parallel to another part of the proof of Theorem 2.2. The same sort of similarity exists between Exercises 1-10 of Section 2.1 and the remaining parts of Theorem 5.11. Because of this similarity, their proofs are left as exercises.
Additive Inverses and Products
For arbitrary $x, y$, and $z$ in a ring $R$, the following equalities hold:
a. $(-x) y=-(x y)$
b. $x(-y)=-(x y)$
c. $(-x)(-y)=x y$
d. $x(y-z)=x y-x z$
e. $(x-y) z=x z-y z$.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Uniqueness of the Unity

如果$R$是一个环，它有一个单位，这个单位是唯一的。
假设$e$和$e^{\prime}$都是环$R$中的单位元素。考虑$R$中的产品$e \cdot e^{\prime}$。一方面，我们有$e \cdot e^{\prime}=e$，因为$e^{\prime}$是一个统一体。另一方面，$e \cdot e^{\prime}=e^{\prime}$，因为$e$是一个统一体。因此
$$
e=e \cdot e^{\prime}=e^{\prime},
$$
这种统一是独一无二的。
在一般的讨论中，我们用$e$表示统一性。当一个环$R$有一个单位时，它是为了考虑乘法逆的存在性。
乘法逆
让$R$成为一个团结的圆环$e$，让$a \in R$。如果$R$中有一个元素$x$使得$a x=x a=e$，那么$x$是$a$的乘法逆，$a$在$R$中被称为一个单位(或可逆元素)。

与单位一样，元素的乘法逆无论何时存在都是唯一的。证明这一点是一个练习。

乘法逆函数的唯一性
假设$R$是一个单位为$e$的环。如果元素$a \in R$有一个乘法逆，则$a$的乘法逆是唯一的。

我们将使用标准符号$a^{-1}$来表示$a$的乘法逆，如果逆存在的话。

例10环$R$中的一些元素可能有乘法逆，而另一些元素则没有。在环$\mathbf{Z}{10}$中，[1]和[9]是它们自己的乘法逆，而[3]和[7]是彼此的乘法逆。$\mathbf{Z}{10}$的所有其他元素都没有乘法逆，因此$\mathbf{Z}_{10}$中的唯一单位是[1]，[9]，[3]和[7]。

因为每个环$R$都是一个关于加法的阿贝尔群，所以我们关于群的许多结果对于环上的加法有直接的应用。例如，定理3.4给出了这些结果:

$R$中的零元素是唯一的。

因为$R,-x$中的每个$x$都是唯一的。

对于$R,-(-x)=x$中的每个$x$。

有关任何$x$和$y$，请参阅$R,-(x+y)=-y-x$。

如果$a, x$和$y$在$R$和$a+x=a+y$中，则是$x=y$。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Zero Product

如果 $R$ 那是戒指吗
$$
a \cdot 0=0 \cdot a=0
$$
对所有人 $a \in R$．
证明令 $a$ 武断地 $R$． 我们减少 $a \cdot 0$ 到0，使用定义5.1a中的各种条件，如下:
$$
\begin{aligned}
a \cdot 0 & =a \cdot 0+0 & & \text { by condition 3 } \
& =a \cdot 0+{a \cdot 0+[-(a \cdot 0)]} & & \text { by condition 4 } \
& =(a \cdot 0+a \cdot 0)+[-(a \cdot 0)] & & \text { by condition 2 } \
& =[a \cdot(0+0)]+[-(a \cdot 0)] & & \text { by condition 8 } \
& =a \cdot 0+[-(a \cdot 0)] & & \text { by condition 3 } \
& =0 & & \text { by condition 4. }
\end{aligned}
$$
类似的步骤可以用来减少 $0 \cdot a$ 到0。
定理5.9说，如果其中一个因子为0，乘积为0。注意，反过来是不成立的:当两个因子都不为0时，乘积可能为0。提供了一个例证 $[2] \cdot[5]=[0]$ 在拳击场上 $\mathbf{Z}_{10}$．

零除数
让$R$成为一个环，让$a \in R$。如果$a \neq 0$，并且如果$R$中存在一个元素$b \neq 0$，使得$a b=0$或$b a=0$存在，那么$a$被称为零的真因子，或零因子。

如果我们把第5.9定理的证明步骤和第2.2定理的最后证明步骤加以比较，就会发现它们是大同小异的。同样，下一个定理的第一部分的证明与定理2.2的另一部分的证明是平行的。在第2.1节的练习1-10和定理5.11的其余部分之间也存在同样的相似性。由于这种相似性，他们的证明被当作练习。
加性逆和积
对于任意的$x, y$和环$R$中的$z$，下列等式成立:
A. $(-x) y=-(x y)$
B. $x(-y)=-(x y)$
C. $(-x)(-y)=x y$
D. $x(y-z)=x y-x z$
E. $(x-y) z=x z-y z$。

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