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优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。
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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The bipartite case
We start with an observation which will be used over and over again in the bipartite as well as in the general case.
Suppose that $M$ is a matching in $G=(V, E), G$ any graph. A path $P=v_0 e_1 v_1 \ldots v_{r-1} e_r v_r$ in $G$ is called alternating (with respect to $M$, or $M-$ alternating) if $M$ contains either all the edges $e_i$ with $i$ even or all the $e_i$ with $i$ odd $(i \leq r) . P$ is called an $M$-augmenting path if both of its endpoints are exposed nodes. In this case, $r$ is odd and $M^{\prime}:=M \backslash\left{e_2, e_4, \ldots, e_{r-1}\right} \cup$ $\left{e_1, e_3, \ldots, e_r\right}$ is a matching with $\left|M^{\prime}\right|=|M|+1$. In 1957, Berge proved the following characterization of maximum matchings in terms of augmenting paths:
Theorem 14.3.1 (Berge) A matching $M$ in a graph $G$ is maximum if and only if there exists no $M$-augmenting path in $G$.
Proof. We did already explain why maximum matchings do not have augmenting paths. Conversely, assume that $M$ and $M^{\prime}$ are matchings with $|M|<\left|M^{\prime}\right|$. Denote by $M \oplus M^{\prime}$ the symmetric difference of $M$ and $M^{\prime}$, i.e. the set of edges which belong either to $M$ or to $M^{\prime}$ but not to both. Since $M$ and $M^{\prime}$ are matchings, the graph with edge set $M \oplus M^{\prime}$ has all degrees at most 2, hence all its components are either cycles of even length or $M_{-}$ and $M^{\prime}$-alternating paths. It is clear that the cycles and the paths of even length all have the same number of $M$ – and $M^{\prime}$-edges. Since $\left|M^{\prime}\right|>|M|$, at least one component must be an alternating path containing more edges from $M^{\prime}$ than from $M$. This path is clearly $M$-augmenting.
By a similar argument we obtain the following result:
Lemma 14.3.2 Suppose $B$ and $B^{\prime}$ are the sets of nodes covered by the maximum matchings $M$ and $M^{\prime}$, respectively. Then for each $x \in B \backslash B^{\prime}$ there exists some $y \in B^{\prime} \backslash B$ such that $(B \backslash{x}) \cup{y}$ is again covered by some maximum matching $M^{\prime \prime}$.
Proof. Consider again the components spanned by $M \oplus M^{\prime}$. Since both matchings are maximum, all paths have even length. The vertex $x \in B \backslash B^{\prime}$ is an endpoint of one of the alternating paths, say of
$$
P: x=v_0 e_1 v_1 \ldots v_{2 s-1} e_{2 s} v_{2 s} .
$$
Now it clearly suffices to choose
$$
y:=v_{2 s} \quad \text { and } \quad M^{\prime \prime}:=\left(M \backslash\left{e_1, e_3, \ldots, e_{2 s-1}\right}\right) \cup\left{e_2, e_4, \ldots, e_{2 s}\right}
$$
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Nonbipartite matching
We now turn our attention to general graphs, starting with the description of the so-called Gallai-Edmonds Structure Theorem.
Theorem 14.4.1 (Gallai-Edmonds Structure Theorem) Let a graph $G=(V, E)$ be given. Denote by $D_G$ the set of all vertices of $G$ which are not covered by all maximum matchings of $G$. Let $A_G:=\Gamma\left(D_G\right) \backslash D_G$ and $C_G:=V \backslash\left(A_G \cup D_G\right)$. Then the following conditions hold:
(i) $D_{G-x}=D_G$ and $C_{G-x}=C_G$ for all $x \in A_G$.
(ii) Each maximum matching of $G$ contains a perfect matching of $G\left[C_G\right]$ and a maximum matching of each component of $G\left[D_G\right]$.
(iii) Each component $H$ of $G\left[D_G\right]$ is factor-critical, which means that $H-x$ has a perfect matching for each vertex $x$ of $H$.
(iv) $\nu(G)=\frac{1}{2}\left(|V|+\left|A_G\right|-c\left(G\left[D_G\right]\right)\right)$, where $c\left(G\left[D_G\right]\right)$ denotes the number of components of $G\left[D_G\right]$.
Example 14.4.2 The graph in Figure 14.12 might clarify the objects used in the Gallai-Edmonds Structure Theorem.
Proof. (i) Suppose $x \in A_G$ is given. Since $x$ is covered by each maximum matching, $\nu(G-x)=\nu(G)-1$. We conclude that for each $y \in D_G$ there exists some maximum matching of $G-x$ missing $y$, hence $D_G \subseteq D_{G-x}$. To prove the reversed inclusion, we assume that a vertex $y \in D_{G-x} \backslash D_G$ exists which is an exposed node of the maximum matching $M^{\prime}$ of $G-x$. We choose some neighbour $z$ of $x$ in $D_G$ and a maximum matching $M$ of $G$ avoiding $z$. Now consider again the graph $\left(V, M \oplus M^{\prime}\right)$. The component of $y$ in this graph is obviously some alternating path $P$ starting with an $M$-edge at its endpoint $y$. If $P$ had even length, the matching
$$
M^{\prime \prime}:=(M \backslash E(P)) \cup\left(M^{\prime} \cap E(P)\right)
$$
would be a maximum matching of $G$ avoiding $y$ which is impossible in view of $y \notin D_G$. The length of $P$ is thus odd. Since $M^{\prime}$ admits no augmenting path in $G-x$, the other endpoint of $P$ must be $x$. But then
$$
M^{\prime \prime \prime}:=(M \backslash E(P)) \cup\left(M^{\prime} \cap E(P)\right) \cup{x z}
$$
is again a maximum matching of $G$ avoiding $y$. Contradiction! The equation $C_{G-x}-C_G$ is now easy.
(ii) This follows readily from (i) by applying part (i) successively for all $x \in A_G$. The details are left to the reader.
优化理论代写
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|The bipartite case
我们从一个观察开始这个观察在二分方程和一般情况下都会被反复使用。
假设$M$是$G=(V, E), G$任意图中的匹配项。$G$中的路径$P=v_0 e_1 v_1 \ldots v_{r-1} e_r v_r$被称为交替(相对于$M$或$M-$交替)，如果$M$包含$e_i$和$i$的所有边，或者$e_i$和$i$的所有边，如果它的两个端点都是暴露节点，则$(i \leq r) . P$被称为$M$ – augingpath。在本例中，$r$是奇数，$M^{\prime}:=M \backslash\left{e_2, e_4, \ldots, e_{r-1}\right} \cup$$\left{e_1, e_3, \ldots, e_r\right}$与$\left|M^{\prime}\right|=|M|+1$匹配。1957年，Berge用增广路径证明了最大匹配的如下表征:
定理14.3.1 (Berge)当且仅当$G$中不存在$M$ -增广路径时，图$G$中的匹配$M$为最大值。
证明。我们已经解释了为什么最大匹配没有递增路径。相反，假设$M$和$M^{\prime}$与$|M|<\left|M^{\prime}\right|$匹配。用$M \oplus M^{\prime}$表示$M$和$M^{\prime}$的对称差，即属于$M$或$M^{\prime}$但不属于两者的边集。由于$M$和$M^{\prime}$是匹配的，具有边集$M \oplus M^{\prime}$的图的所有度最多为2，因此它的所有分量要么是偶数长度的循环，要么是$M_{-}$和$M^{\prime}$交替的路径。很明显，偶数长度的循环和路径都有相同数量的$M$和$M^{\prime}$边。因为$\left|M^{\prime}\right|>|M|$，至少有一个组件必须是一个交替路径，包含更多的边从$M^{\prime}$比从$M$。这条路径显然是$M$ -递增的。
通过类似的论证，我们得到以下结果:
假设$B$和$B^{\prime}$分别是最大匹配$M$和$M^{\prime}$所覆盖的节点集合。然后，对于每个$x \in B \backslash B^{\prime}$，存在一些$y \in B^{\prime} \backslash B$，使得$(B \backslash{x}) \cup{y}$再次被一些最大匹配$M^{\prime \prime}$所覆盖。
证明。再次考虑$M \oplus M^{\prime}$所跨越的组件。由于两个匹配都是最大值，所以所有路径的长度都是偶数。顶点$x \in B \backslash B^{\prime}$是其中一条交替路径的端点，比如说
$$
P: x=v_0 e_1 v_1 \ldots v_{2 s-1} e_{2 s} v_{2 s} .
$$
现在选择显然足够了
$$
y:=v_{2 s} \quad \text { and } \quad M^{\prime \prime}:=\left(M \backslash\left{e_1, e_3, \ldots, e_{2 s-1}\right}\right) \cup\left{e_2, e_4, \ldots, e_{2 s}\right}
$$
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Nonbipartite matching
现在我们把注意力转向一般图，从所谓的Gallai-Edmonds结构定理的描述开始。
定理14.4.1 (Gallai-Edmonds结构定理)设一个图$G=(V, E)$。用$D_G$表示$G$中未被$G$的所有最大匹配所覆盖的所有顶点的集合。让$A_G:=\Gamma\left(D_G\right) \backslash D_G$和$C_G:=V \backslash\left(A_G \cup D_G\right)$。则下列条件成立:
(i)所有$x \in A_G$均为$D_{G-x}=D_G$和$C_{G-x}=C_G$。
(ii)每个$G$的最大匹配包含一个$G\left[C_G\right]$的完全匹配和一个$G\left[D_G\right]$各分量的最大匹配。
(iii) $G\left[D_G\right]$的每个分量$H$都是因子关键的，即$H-x$对$H$的每个顶点$x$都有完美的匹配。
(iv) $\nu(G)=\frac{1}{2}\left(|V|+\left|A_G\right|-c\left(G\left[D_G\right]\right)\right)$，其中$c\left(G\left[D_G\right]\right)$为$G\left[D_G\right]$的成分数。
图14.12中的图可以说明Gallai-Edmonds结构定理中使用的对象。
证明。(i)假设给出$x \in A_G$。由于$x$被每个最大匹配所覆盖，因此$\nu(G-x)=\nu(G)-1$。我们得出结论，对于每个$y \in D_G$，存在一些最大匹配的$G-x$缺失$y$，因此$D_G \subseteq D_{G-x}$。为了证明反向包含，我们假设存在顶点$y \in D_{G-x} \backslash D_G$，它是$G-x$的最大匹配$M^{\prime}$的暴露节点。我们在$D_G$中选择一个$x$的邻居$z$，在$G$中选择一个最大匹配的$M$来避免$z$。现在再看一下$\left(V, M \oplus M^{\prime}\right)$图。这个图中$y$的分量显然是一些交替路径$P$，从其端点$y$处的$M$ -边开始。如果$P$有偶数长度，匹配
$$
M^{\prime \prime}:=(M \backslash E(P)) \cup\left(M^{\prime} \cap E(P)\right)
$$
将是$G$的最大匹配，避免$y$，这是不可能的，因为$y \notin D_G$。因此，$P$的长度是奇数。因为$M^{\prime}$不允许在$G-x$中添加路径，所以$P$的另一个端点必须是$x$。但是接着
$$
M^{\prime \prime \prime}:=(M \backslash E(P)) \cup\left(M^{\prime} \cap E(P)\right) \cup{x z}
$$
再次是$G$的最大匹配，避免$y$。矛盾!等式$C_{G-x}-C_G$现在很简单了。
(ii)通过对所有$x \in A_G$依次应用第(i)部分，这很容易从(i)中得到。细节留给读者。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
