物理代写| The Volume Element 相对论代考
物理代写
3.6.1 Determinant of the Metric Tensor
Determinant of the covariant metric tensor $g_{i j}$, denoted by $g$, is a very useful quantity. Since $g^{i j}$ is the inverse matrix of $g_{i j}$, the determinant of $g^{i j}$ is $1 / g$.
Since the metric tensor transforms as
$$
g_{k l}^{\prime}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{\prime k}} \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{l l}} g_{i j},
$$
and, determinant of product of matrices is the product of determinant of matrices, by taking determinant of both sides one gets
$$
g^{\prime}=J^{2} g
$$
Here the Jacobian $J^{\prime}=\operatorname{det}\left(\partial x^{i} / \partial x^{\prime k}\right)$ which is the determinant of the inverse Jacobian matrix in Eq. (3.3.9).
Quantities which transform as tensors under coordinate transformation, except for a factor which is a function of the Jacobian, are called tensor densities and the power of the Jacobian in the factor is called the weight of the density (A. K. Raychaudhuri (1992)). Thus, $g$ transforms as a scalar density of weight $+2$.
The differential of the determinant of the metric, $\mathrm{d} g$, is also a frequently used quantity. In the differential of $g$, the coefficient of a given element $\mathrm{d} g_{i j}$, is the cofactor $G^{i j}$ of $g_{i j}$ in the determinant $g$. However, the inverse matrix is $g^{i j}=G^{i j} / g$. Therefore we obtain,
$$
\mathrm{d} g=G^{i j} d g_{i j}=g g^{i j} \mathrm{~d} g_{i j}=-g g_{i j} \mathrm{~d} g^{i j}
$$
The last step follows from the fact that $\mathrm{d}\left(g^{i j} g_{j k}\right)=\mathrm{d} \delta_{k}^{i}=0$. This result could also be derived starting from the differential of the determinant of $g^{i j}$, where $d g$ would have to be replaced by $\mathrm{d}(1 / g)=-\mathrm{d} g / g^{2}$.
The above equation can be cast into other useful forms,
$$
g^{i j} \mathrm{~d} g_{i j}=\frac{\mathrm{d} g}{g}=\mathrm{d} \ln g ; \quad \frac{1}{2} g^{i j} \mathrm{~d} g_{i j}=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} g}{g}=\mathrm{d} \ln \sqrt{|g|}=\frac{\mathrm{d} \sqrt{|g|}}{\sqrt{|g|}} .
$$
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3.6.1 度量张量的行列式
用 $g$ 表示的协变度量张量 $g_{i j}$ 的行列式是一个非常有用的量。由于$g^{i j}$ 是$g_{i j}$ 的逆矩阵，$g^{i j}$ 的行列式是$1 / g$。
由于度量张量变换为
$$
g_{kl}^{\prime}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{\prime k}} \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{ll }} g_{ij},
$$
并且，矩阵乘积的行列式是矩阵行列式的乘积，通过取两边的行列式得到
$$
g^{\素数}=J^{2} g
$$
这里的雅可比 $J^{\prime}=\operatorname{det}\left(\partial x^{i} / \partial x^{\prime k}\right)$ 是逆雅可比矩阵的行列式方程。 (3.3.9)。
在坐标变换下变换为张量的量，除了作为雅可比函数的因子外，称为张量密度，雅可比在因子中的幂称为密度的权重 (A. K. Raychaudhuri (1992))。因此，$g$ 转换为权重 $+2$ 的标量密度。
度量行列式的微分 $\mathrm{d} g$ 也是一个常用的量。在$g$ 的微分中，给定元素$\mathrm{d} g_{i j}$ 的系数是行列式$g$ 中$g_{i j}$ 的余因子$G^{i j}$。然而，逆矩阵是$g^{i j}=G^{i j} / g$。因此我们得到，
$$
\mathrm{d} g=G^{ij} d g_{ij}=gg^{ij} \mathrm{~d} g_{ij}=-g g_{ij} \mathrm{~d} g^{ij }
$$
最后一步源于$\mathrm{d}\left(g^{i j} g_{j k}\right)=\mathrm{d} \delta_{k}^{i}=0$这一事实。这个结果也可以从 $g^{ij}$ 行列式的微分开始，其中 $dg$ 必须被 $\mathrm{d}(1 / g)=-\mathrm{d} g / g^{2}$。
上面的方程可以转换成其他有用的形式，
$$
g^{i j} \mathrm{~d} g_{i j}=\frac{\mathrm{d} g}{g}=\mathrm{d} \ln g ; \quad \frac{1}{2} g^{ij} \mathrm{~d} g_{ij}=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} g}{g}=\mathrm {d} \ln \sqrt{|g|}=\frac{\mathrm{d} \sqrt{|g|}}{\sqrt{|g|}} 。
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上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
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流体力学是力学的一个分支。 主要研究在各种力的作用下流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体之间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
