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交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Enough injectives
The idea of this section is to pursue the dual version of the statement “Every $R$-module is a quotient of a projective module”: namely we wish to show that every $R$-module is a submodule of an injective module. This is a good example of a statement which remains true upon dualization but becomes more elaborate to show. The projective version is almost obvious: indeed, we have the stronger result that every module is a quotient of a free module, and – as we have seen – to realize $M$ as a quotent of a free $R$-module is equivalent to simply choosing a set of generators for $M$. (But again, if we choose the most obvious definition of “cofree”, then this statement will be false.)
Let $k$ be a ring, $R$ a $k$-algebra, $M$ an $R$-module and $N$ a $k$-module. Consider the commutative group $\operatorname{Hom}k(M, N)$. We may endow it with the structure of an $R$-module as follows: for $r \in R$ and $f \in \operatorname{Hom}{\mathbb{Z}}(M, N),(r f)(x):=f(r x)$.
Consider the special case $k=\mathbb{Z}$ and $N=\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ of the above construction. It gives $\operatorname{Hom}{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Q} / \mathbb{Z})$ the structure of an $R$-module, which we denote by $M^$ and call the Pontrjagin dual of $M .^5$ Because $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ is an injective $\mathbb{Z}$-module, the (contravariant) functor $M \mapsto M^$ – or in other words $\operatorname{Hom}{\mathbb{Z}}(, \mathbb{Q} / \mathbb{Z})$ – is exact. ${ }^6$ In particular, if $f: M \rightarrow N$ is an $R$-module map, then $f$ injective implies $f^$ surjective and $f$ surjective implies $f^$ injective.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Essential extensions and injective envelopes
The results of this section are all due to B. Eckmann and A. Schopf [ES53].
Proposition 3.27. For $R$ modules $M \subset N$, the following are equivalent:
(i) If $X$ is any nonzero $R$-submodule of $N$, then $X \cap M$ is nonzero.
(ii) If $x \in N^{\bullet}$, there exists $r \in R$ such that $r x \in M^{\bullet}$.
(iii) If $\varphi: N \rightarrow Y$ is an $R$-module map, then $\varphi$ is injective iff $\left.\varphi\right|_M$ is injective. An extension $M \subset N$ satisfying these equivalent conditions is called essential.
Proof. (i) $\Longrightarrow$ (ii): Apply (i) with $X=\langle x\rangle$.
(ii) $\Longrightarrow$ (iii): Assuming (ii), let $\varphi: N \rightarrow Y$ be a homomorphism with $\left.\varphi\right|_M$ is injective. It is enough to show that $\varphi$ is injective. Seeking a contradiction, let $x \in N^{\bullet}$ be such that $\varphi(x)=0$. By (ii), there exists $r \in R$ such that $r x \in M^{\bullet}$. But then by assumption $r \varphi(x)=\varphi(r x) \neq 0$, so $\varphi(x) \neq 0$, contradiction.
(iii) $\Longrightarrow$ (i): We go by contraposition. Suppose there exists a nonzero submodule $X$ of $N$ such that $X \cap M=0$. Then the map $\varphi: N \rightarrow N / X$ is not an injection but its restriction to $M$ is an injection.
Proposition 3.28. (Tower Property of Essential Extensions) Let $L \subset M \subset N$ be $R$-modules. Then $L \subset N$ is an essential extension iff $L \subset M$ and $M \subset N$ are both essential extensions.
Proof. Suppose first that $L \subset N$ is an essential extension. Then for any nonzero submodule $X$ of $N, X \cap L \neq 0$. In particular this holds for $X \subset M$, so $L \subset M$ is essential. Moreover, since $L \subset M, X \cap L \neq 0$ implies $X \cap M \neq 0$, so $M \subset N$ is essential. Conversely, suppose $L \subset M$ and $M \subset N$ are both essential, and let $X$ be a nonzero submodule of $N$. Then $X \cap M$ is a nonzero submodule of $M$ and thus $(X \cap M) \cap L=X \cap L$ is a nonzero submodule of $L$. So $L \subset N$ is essential.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Enough injectives
本节的思想是追求命题“每个$R$ -模都是一个射影模的商”的双重版本:即我们希望证明每个$R$ -模都是一个内射模的子模。这是一个很好的例子，说明在二元化后仍然成立，但要更详细地说明。投影版本几乎是显而易见的:的确，我们有一个更强的结果，即每个模块都是一个自由模块的商，并且-正如我们所看到的-将$M$实现为一个自由的$R$ -模块的商等同于简单地为$M$选择一组生成器。(但是，如果我们选择最明显的“cofree”定义，那么这个陈述将是错误的。)
假设$k$是一个环，$R$是一个$k$ -代数，$M$是一个$R$ -模块，$N$是一个$k$ -模块。考虑交换群$\operatorname{Hom}k(M, N)$。我们可以像下面这样赋予它$R$ -模块的结构:对于$r \in R$和$f \in \operatorname{Hom}{\mathbb{Z}}(M, N),(r f)(x):=f(r x)$。
考虑特殊情况 $k=\mathbb{Z}$ 和 $N=\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ 以上结构。它给出 $\operatorname{Hom}{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Q} / \mathbb{Z})$ 的结构。 $R$-module，我们用 $M^$ 叫庞特加金对偶 $M .^5$ 因为 $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ 是一个注射剂 $\mathbb{Z}$-module，逆变函子 $M \mapsto M^$ ——或者换句话说 $\operatorname{Hom}{\mathbb{Z}}(, \mathbb{Q} / \mathbb{Z})$ -是准确的。 ${ }^6$ 特别是，如果 $f: M \rightarrow N$ 是吗? $R$-module map $f$ 内射暗示 $f^$ 满射和 $f$ 满射意味着 $f^$ 注射的。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Essential extensions and injective envelopes
本节的结果全部归功于B. Eckmann和A. Schopf [ES53]。
提案3.27对于$R$模块$M \subset N$，以下是等效的:
(i)如果$X$是$N$的任意非零$R$子模块，则$X \cap M$是非零的。
(ii)如果$x \in N^{\bullet}$，存在$r \in R$使得$r x \in M^{\bullet}$。
(iii)如果$\varphi: N \rightarrow Y$是一个$R$ -模块映射，那么$\varphi$是内射的，如果$\left.\varphi\right|_M$是内射的。满足这些等价条件的扩展$M \subset N$称为基本扩展。
证明。(i) $\Longrightarrow$ (ii):使用$X=\langle x\rangle$应用(i)。
(ii) $\Longrightarrow$ (iii):假设(ii)，设$\varphi: N \rightarrow Y$为同态，$\left.\varphi\right|_M$为内射。只要证明$\varphi$是注入的就足够了。寻找一个矛盾，让$x \in N^{\bullet}$这样$\varphi(x)=0$。通过(ii)，存在$r \in R$使得$r x \in M^{\bullet}$。但是根据假设$r \varphi(x)=\varphi(r x) \neq 0$，所以$\varphi(x) \neq 0$，矛盾。
(三)$\Longrightarrow$(一):我们用对位法。假设存在一个$N$的非零子模块$X$，使得$X \cap M=0$。那么映射$\varphi: N \rightarrow N / X$不是注入，但它对$M$的限制是注入。
提案3.28(基本扩展的塔属性)设$L \subset M \subset N$为$R$ -模块。如果$L \subset M$和$M \subset N$都是必要的扩展名，那么$L \subset N$是必要的扩展名。
证明。首先假设$L \subset N$是一个基本扩展。然后对于$N, X \cap L \neq 0$的任何非零子模块$X$。这尤其适用于$X \subset M$，因此$L \subset M$是必不可少的。此外，因为$L \subset M, X \cap L \neq 0$意味着$X \cap M \neq 0$，所以$M \subset N$是必不可少的。反过来，假设$L \subset M$和$M \subset N$都是必需的，并且让$X$是$N$的非零子模块。那么$X \cap M$是$M$的非零子模块，因此$(X \cap M) \cap L=X \cap L$是$L$的非零子模块。所以$L \subset N$是必不可少的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
