微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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(Weierstrass test) Every dominated series converges uniformly and absolutely.
Proof Let $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ be a dominated series defined on an interval $I$, and let $\left(\alpha_{n}\right)$ be a sequence of positive reals such that $\left|f_{n}(x)\right| \leq \alpha_{n}$ for all $n \in \mathbb{N}$ and for all $x \in I$, $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}$ converges.
Let $s_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x)$ and $\sigma_{n}=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}$ for $n \in \mathbb{N}$. Then for $n>m$,
$$
\left|s_{n}(x)-s_{m}(x)\right|=\left|\sum_{i=m+1}^{n} f_{i}(x)\right| \leq \sum_{i=m+1}^{n}\left|f_{i}(x)\right| \leq \sum_{i=m+1}^{n} \alpha_{i}=\sigma_{n}-\sigma_{m}
$$
Since $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}$ converges, the sequence $\left(\sigma_{n}\right)$ is a Cauchy sequence. Now, let $\varepsilon>0$ be given, and let $N \in \mathbb{N}$ be such that
$$
\left|\sigma_{n}-\sigma_{m}\right|<\varepsilon \quad \forall n, m \geq N
$$
Hence, from the relation $\left|s_{n}(x)-s_{m}(x)\right| \leq \sigma_{n}-\sigma_{m}$, we have
$$
\left|s_{n}(x)-s_{m}(x)\right|<\varepsilon \quad \forall n, m \geq N, \forall x \in I .
$$
This, in particular, implies that $\left(s_{n}(x)\right)$ is a Cauchy sequence at each $x \in I$. Hence, $\left(s_{n}(x)\right)$ converges for each $x \in I$. Let $f(x)=\lim {n \rightarrow \infty} s{n}(x), x \in I$. Then, we have
$$
\left|f(x)-s_{m}(x)\right|=\lim {n \rightarrow \infty}\left|s{n}(x)-s_{m}(x)\right| \leq \varepsilon \quad \forall m \geq N, \forall x \in I
$$
Thus, the series $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ converges uniformly to $f$ on $I$. By Theorem 5.2.1, it converges absolutely as well.
Remark 5.2.1 Theorem 5.2.4 is usually known as Weierstrass M-test, as in standard books on Calculus, the numbers $\alpha_{n}$ in Theorem $5.2 .4$ are usually denoted by $M_{n}$.
（Weierstrass 检验）每个支配级数一致且绝对地收敛。
证明让∑n=1∞Fn是在区间上定义的主导序列一世， 然后让(一种n)是一个正实数序列，使得|Fn(X)|≤一种n对所有人n∈ñ并为所有人X∈一世,∑n=1∞一种n收敛。
让sn(X)=∑一世=1nF一世(X)和σn=∑到=1n一种到为了n∈ñ. 那么对于n>米,
|sn(X)−s米(X)|=|∑一世=米+1nF一世(X)|≤∑一世=米+1n|F一世(X)|≤∑一世=米+1n一种一世=σn−σ米
自从∑n=1∞一种n收敛，序列(σn)是一个柯西序列。现在，让e>0被给予，并让ñ∈ñ是这样的
|σn−σ米|<e∀n,米≥ñ
因此，从关系|sn(X)−s米(X)|≤σn−σ米， 我们有
|sn(X)−s米(X)|<e∀n,米≥ñ,∀X∈一世.
这尤其意味着(sn(X))是一个柯西序列X∈一世. 因此，(sn(X))收敛于每个X∈一世. 令 $f(x)=\lim {n \rightarrow \infty} s {n}(x), x \in I.吨H和n,在和H一种v和$
\left|f(x)-s_{m}(x)\right|=\lim {n \rightarrow \infty}\left|s {n}(x)-s_{m}(x)\right| \leq \vareppsilon \quad \forall m \geq N, \forall x \in I
$$
因此，级数∑n=1∞Fn均匀地收敛到F在一世. 根据定理 5.2.1，它也绝对收敛。
备注 5.2.1 定理 5.2.4 通常被称为 Weierstrass M 检验，就像在微积分的标准书籍中一样，数字一种n定理5.2.4通常表示为米n.
微积分note Integer Multiples of Irrational Numbers 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
